Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифмети­ческая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней исполь­зуется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В по­добных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариаци­онным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некото­рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифмети­ческой равна нулю.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произ­вольной величины С.

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз.

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

 

Другие виды средних величин

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где

Средняя гармоническая невзвешенная.

Эта форма средней, используемая зна­чительно реже, имеет следующий вид:

.

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в автохозяйстве эксплуатируются два электромобиля разных моделей, работающих на однотипных подзаряжаемых за ночь аккумуляторных батареях. Первый электромобиль расходует на 1 км пути 1,0 кВт ч электроэнергии, второй - 0,6 кВт- ч. Каков средний расход электроэнергии на 1 пройденный километр?

На первый взгляд решение этой задачи заключается в осреднении индивидуальных значений потребления электроэнергии по двум электромобилям, т.е. (1,0 + 0,6): 2 = 0,8 кВт ч. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного дня работы машин, в течение которого они расходуют один заряд аккумулятора, предположим, 60,0 кВт ч (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). За этот день первая машинам пройдет 60 км (60,0/1,0), пробег отарой составит 100 км (60,0/0,6), т.е. в сумме- 160 км. Если же заменить индивидуальные значения признака их предполагаемым средним значе­нием, то общий пробег, выступающий в данном случае в качестве определяющего показа­теля, сократится до 150 км (60,0/0,8 + 60,0/0,8). Следовательно, полученная средняя рас­считана неверно.

Средняя геометрическая.

Еще одной формулой, по которой может осуществлять­ся расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

- незвешенная;

- взвешенная.

 

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая.

Воснове вычислений ряда сводных расчетных показа­телей лежит средняя квадратическая:

- невзвешенная;

- взвешенная.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

 

Структурные средние(мода и медиана).

В отличие от степен­ных средних, которые в значительной степени являются абст­рактной характеристикой совокупности, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их неза­менимыми при решении ряда практических задач.

Модой () называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду).

Медианой () называется значение признака, которое лежитв се­редине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равныепо численности части.

Ранжированный ряд — ряд, расположенный в порядке возрас­тания или убывания значений признака.

Для определения медианы сначала определяют ее местов ря­ду, используя формулу:

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану ус­ловно принимают среднюю арифметическую из двух срединных значений.

Мода применяется при экспертных оценках, при определе­нии наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологическо­го процесса на промышленных предприятиях; при изучении рас­пределения семей по величине дохода и др. Мода и медиана име­ют преимущество перед средней арифметической для ряда рас­пределения с открытыми интервалами.