Виды средней арифметической.

Наиболее часто в характеристике вариационного ряда используют среднюю арифметическую.

Различают три вида средней арифметической: простая, взвешенная и вычисленная по способу моментов. Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационном ряду, где каждая варианта встречается только 1 раз называется средней арифметической простой (табл. 4). Ее определяют по формуле:

M= ,

где М – средняя арифметическая,

V – варианта изучаемого признака,

n–число наблюдений.

Если в исследуемом ряду одна или несколько вариант повторяются несколько раз, то вычисляют среднюю арифметическую взвешенную (табл. 2), когда учитывается вес каждой варианты в зависимости от частоты ее встречаемости. Расчет такой средней проводят по формуле:

M= ,

где М – средняя арифметическая взвешенная;

∑ - знак суммы;

V – варианты (числовые значения изучаемого признака);

P – частота, с которой встречается одна и та же варианта признака, т.е. сумма вариант с данным значением признака;

n – число наблюдений, т.е., сумма всех частот или общее число всех вариант (∑p).

Таблица 4

Определение среднего пульса у студентов-мужчин перед экзаменом

(Расчет простой средней арифметической)

ПУЛЬС У СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V)	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)
∑V = 691	n = 9
M = уд/мин.

Пример: при определений среднего пульса у студентов перед экзаменом следует сначала вычислить ∑ V_* p, а затем среднюю величинуM = = 76,9 уд/мин. (табл. 5).

Нередко при большом числе наблюдений для вычисления средней арифметической взвешенной используют сгруппированный вариационный (или разбитый на равные интервалы) ряд. Такой вариационный ряд должен быть непрерывным, варианты, расположенные в определенном порядке (возрастания или убывания), следуют друг за другом.

Таблица 5

Определение среднего пульса у студентов-мужчин перед экзаменом

(Расчет взвешенной средней арифметической)

ПУЛЬС У СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V)	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	V * p
∑p = n = 26∑V* p = 2000 M = =76,9 уд/мин.

 

При группировке вариационного ряда следует учитывать, что интервал выбирает исследователь, величина интервала зависит от цели и задач исследования.

Число групп в сгруппированном вариационном ряду определяют в зависимости от числа наблюдений.При числе наблюдений от 31 до 100 рекомендуется иметь 5-6 групп, от 101 до 300 - от 6 до 8 групп, от 300 до 1000 наблюдений можно использовать от 10 до 15 групп. Расчет интервала (i) проводится по формеле:i = ,

Vmax – максимальное значение варианты,

Vmin – минимальное значение варианты.

Расчет средней взвешенной в сгруппированном ряду (или интервальном ряду требует определения середины интервала, которую вычисляют как полусуммукрайных значений группы.(табл. 3). Расчет средней величины производят по формуле: M = = =176,7см.(табл. 6).

Таблица 6

Определение среднего роста студентов-мужчин 20-22 лет

(Расчет взвешенной средней арифметическойв сгруппированном ряду)

РОСТ СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V), СМ.	ЦЕНТРАЛЬНАЯ ВАРИАНТА ГРУППЫ (V1), СМ.	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	V1 ∙ p
160-164     165-169     170-174     175-179     180-184     185-189	162   = 167   = 172   = 177   = 182   187
∑p = n =212 ∑ V1 ∙ p = 37469 M = = = 176,74 см.

 

В случаях, когда варианты представлены большими числами (например, масса тела новорожденных в граммах) и имеется число наблюдений, выраженное сотнями или тысячами случаев, взвешенная средняя арифметическая может быть вычислена по способу моментов (табл. 7) по формуле:

M = A +

гдеA – условно взятая средняя величина (чаще всего в качестве условной средней берется Мо);

∑ - знак суммы;

α – отклонение каждой варианты в интервалах от условной средней =

p – частота (число раз, с которым встречается одна и та же варианта признака).

αp – произведение отклонения (α) на частоту (p);

n – число наблюдений, т.е. сумма всех частот или общее число всех вариант (∑p).

i – величина интервала = (Vmax – максимальное значение варианты, Vmin – минимальное значение варианты).

Таким образом, средняя взвешенная вычисленная по способу моментов, составила 176,74 см., что практический совпало с расчетами средней обычным методом – 176,7 см.. Однако при вычислений средней по способу моментов используют простые цифры, вычисление менее громоздки, что значительно облегчает и ускоряет расчеты.

Средняя арифметическая (средняя взвешенная) имеет ряд свойств, которые используют в некоторых случаях для упрощения расчета средней и получения ориентировочной величины.

1. Средняя арифметическая занимает срединное положение в строго симметричном вариационном ряду (M = M₀ = M_e)_.

2. Средняя арифметическая имеет абстрактный характер и является обобщающей величиной, выявляющей закономерность.

3. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: ∑ (V - M) = 0. На этом свойстве основан расчет средней по способу моментов.

Таблица 7

Определение среднего роста студентов-мужчин 20-22 лет

(Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов, i = 5)

РОСТ СТУДЕНТОВ-МУЖЧИН (V), СМ.	ЦЕНТРАЛЬНАЯ ВАРИАНТА ГРУППЫ (V1), СМ.	ЧИСЛО СТУДЕНТОВ (p)	α =	a ∙ p
160-164 165-169 170-174 175-179 180-184 185-189		∑p = n =212	-3 -2 -1 +1 +2	-12 -42 -47 +54 +36 ∑a∙p = -11
M= 177 +