Характеристика разнообразия признаков в статистической совокупности

Среднее арифметическое обычно рассчитывается для получения стандартов, норм, эталонов, например стандартов физического развития, лабораторных стандартов, физиологических норм, норм нагрузки и т. п.

В связи с развитием новых методов и форм управления здравоохранением, разработкой автоматизированных систем управления, мониторинга здоровья рассчитываются стандарты для многих статистических показателей деятельности учреждений и служб здравоохранения. Порой приходится обобщать совокупность случаев, в которых варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средних уровней. В этих случаях определяется критерий разнообразия (вариабельности, колеблемости, рассеяния) признака в статистической совокупности. Чем ближе по значению друг к другу отдельные варианты, тем меньше колеблемость (рассеяние), тем типичнее средняя величина. Одинаковые по размеру средние величины могут быть получены из вариационных рядов с разной степенью колеблемости (разнообразия) признака. При исследовании разнообразия изучаемого признака (его колеблемости или вариации) в статистике применяются следующие характеристики:

·лимит (Lim) – это крайние значения вариант в вариационном ряду:

Lim = V_max.÷V_min.;

·амплитуда (Amp) или размах, - это разность между крайними вариантами:

Amp = V_{max. –} V_min.;

·среднеквадратическое отклонение (сигма): σ;

·коэффициент вариации: CV.

Лимит и амплитуда характеризуют разнообразие изучаемого признака только по двум крайним вариантам без учета распределения вариант между ними, игнорируя внутреннюю структуру статистической совокупности. Эта характеристика является неточной и применяется только для быстрой, ориентировочной оценки.

Наиболее полную характеристику разнообразия признака в статистической совокупности дает среднеквадратическое отклонение, которое ликвидирует первого способа оценки и делает характеристику колеблемости более рельефной, выпуклой.

Существует два способа расчета среднеквадратического отклонения: непосредственный (среднеарифметический) и способ моментов.

При непосредственном (среднеарифметическом) способе расчеты производятся по формулам:

а) для простого вариационного ряда (p = 1), при небольшом числе

наблюдений (n≤ 30):

σ = ,

где d (deviation) – это разность между каждой вариантой ряда, и средней

арифметической (истинное отклонение вариант от истинной средней):

d = V–M.

Алгебраическая сумма положительных и отрицательных отклонений от

средней всегда равна нулю.

б) для взвешенного вариационного ряда, при небольшом числе

наблюдений (n≤ 30):

σ = ;

в) для взвешенного вариационного ряда, при большом числе наблюдений:

(n 30);

σ = .

Таким образом, вычисление среднеквадратического отклонения необходимо произвести шесть последовательных действий:

1) определить отклонения вариант от средней: d = V – M;

2) возвести отклонения в квадрат: d²;

3) перемножить квадраты отклонений и частоты: d²p;

4) суммировать произведения квадратов отклонений и частот:∑ d²p;

5) разделить эту сумму на число наблюдений: ;

6) извлечь из частного квадратный корень: σ = ;

В окончательном виде формула среднеквадратического отклонения будет иметь вид: σ =

Аналогичным образом проводятся вычисления среднеквадратического отклонения и по данным сгруппированного ряда.

Вычисления средних величин и средних квадратических отклонений на практике обычно производится более быстрыми, упращенными способами. Один из них – способ отсчета от условной средней, способ моментов, - основан на том положении, что сумма отклонений всех вариант вариационного ряда от средней равна нулю. Поэтому если мы примем за условную среднюю варианту, не равную средней, то сумма отклонений от нее не будет равна нулю и составит какое-то число с положительным или отрицательным знаком. Это величина и используется для получения поправки к избранной условной средней при вычислении средней арифметической рассматриваемым упрощенным способом. В качестве условной средней (A) удобнее всего взять варианту, имеющую наибольшую частоту или находящуюся в середине вариационного ряда. При определении среднего квадратического отклонения по способу моментов используется следующая формула:

σ =i .

где - условное отклонение вариант от условной средней: = V₁ – A.

При этом: момент первой степени;

– момент второй степени.

В целом, для получения среднеквадратического отклонения из данных сгруппированного вариационного ряда по способу моментов необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1) определить число наблюдений в ряду (n) и величину интервала (i);

2) определить отклонения от условной средней в единицах интервалов

(α_i);

3) перемножить отклонения на соответствующие частоты (α_ip);

4) суммировать произведения с учетом алгебраических знаков (∑α_ip);

5) разделить сумму на число наблюдений, получая первый момент:

;

6) перемножить первый момент на величину интервала:

;

 

7) возвести отклонения от условной средней в единицах интервалов в

квадрат ();

8) перемножить квадраты отклонений на соответствующие частоты ( p);

9) суммировать произведения ( p);

10) разделить сумму на число наблюдений, получая второй момент:

11) возвести в квадрат первый момент: ;

12) вычесть из второго момента квадрат первого момента: -

13) извлечь из разности квадратный корень и, умножив результат на величину интервала, получить среднеквадратическое отклонение:

 

σ = i .

Этот принцип расчета положен в основу получения дисперсии(среднего квадрата отклонения) определяющей степень однородности статистической совокупности. Дисперсия бывает простая и взвешенная. Дисперсия (σ²) выражается моментом второй степени.

Простая дисперсия:σ² = ;

Взвешенная дисперсия: σ² = ;

Среднеквадратическое отклонение находит разнообразное применение в практике врача. В симметричном вариационном ряду:

- в пределах (в интервале) M ± 1σ должно находиться 68,37 % всех вариант;

- в пределах M ± 2σ -95,5 % всех вариант;

- в пределах M ± 3σ – 99,7 % всех вариант.

В последнем случае определяется самая высокая степень оценки колеблемости данных. Если 95 % всех вариант находится в пределах M ± 2σ, то средняя арифметическая является типичной (увеличивать число случаев не следует).

Правило трех сигм используется также для оценки единичной варианты. Если единичная варианта лежит в пределах:

M ± 1σ – это норма (нормальный рост, масса тела и др.);

M ± 2σ – рост или масса выше или ниже среднего (субнорма);

M ± 3σ – высокий или низкий рост, масса тела (субпатология).

Разновидностью этого приема оценки единичных вариант является вычисление так называемого нормированного отклонения:t(доверительный коэффициент) = , которое позволяет определить, находится ли отклонение варианты от средней в пределах одной, двух или трех сигм, а также направленность (знак) этого отклонения, т.е. сколько сигм составляет отклонение индивидуального признака от средней арифметической:

 

Коэффициент вариации

Вариация — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени.

Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений.Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.

Коэффициент вариации (C_v) определяет изменчивость вариационного ряда в процентах и дает возможность судить о качественной однородности изучаемой совокупности.

Коэффициент вариации является относительной мерой разнообразия, так как исчисляется как процентное отношение среднеквадратического отклонения (σ) к средней арифметической величине (M).

Формула коэффициента вариации выглядит следующим образом:

C_v = * 100 %

Для ориентировочной оценки степени разнообразия признака пользуются следующими градациями коэффициента вариации. Если коэффициент составляет более 20 %, то отмечают сильное разнообразие; при 20-10 % - среднее, и если коэффициент менее 10 %, то считают, что разнообразие слабое.

Коэффициент вариации применяют при сравнении степени разнообразия признаков, имеющих различия в величине признаков или неодинаковую их размерность.

 

 

Глава 2