Средняя хронологическая величина.

Иногда при анализе социально-экономических показателей, необходимо определить среднюю, если имеются данные равностоящего моментного ряда динамики. Например. численность работников предприятия, запасы товара на складах, стоимость имущества предприятия. В этих случаях используется средняя хронологическая.

1/2 х₁ + х₂+х₃+…+1/2х_n

х_хр = ————————— (6.5)

n - 1

Средняя гармоническая величина

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение fх, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы определить среднюю, обозначим fх= w, откуда f=w/x

w₁+ w₂+w₃+…+w_n Σ w

х _гар = ————————— = —— (6.6)

w₁/x₁ +w₂/x₂+…+w_n/x₃ Σ w/x

Средняя геометрическая величина

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин. Например, в расчетах среднегодовых темпов роста.

Хг = ⁿ√х₁ × х₂ × …× х_n (6.7)

Пример, в результате инфляции за 1 год цена товара возросла в 2 раза по отношению к предыдущему году. За 2 год цена увеличилась в 3 раза по отношению к предыдущему году. Рассчитать средний темп роста цены.

Хг = √2 × 3 = √ 6 = 2,45 – в среднем цена возросла в 2,45 раза.

Средняя квадратическая и кубическая.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов). Но в практике статистики имеют ограниченное применение.

х₁² + х₂²+…+х_n² Σ х² Σ x³

х_кв = √ ————————— = √—— (6.8) х_куб = ³√—— (6.10)

n n n

Σ x² f Σ x³ f

х_{кв вз.} = √ ——, (6.9) х_{куб вз.} = ³√ ——, (6.11)

Σ f Σ f

Структурные средние

применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Например, в табл.7.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

f_Мо + f _Мо-1

Мо = Х _Мо + i _Мо --------------------------------------(6.12)

(f_Мо + f _Мо-1) – (f_Мо + f _Мо+1)

Где Х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i_Мо – модальный интервал;

f_Мо, f _Мо-1, f _Мо+1 – частоты в модальной, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

По данным задачи 6 рассчитаем моду.

Мо = 3+2 ((115-60)/ (115-60) + (115-43)) = 3,7 лет.

Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части (по числе единиц) – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

N_Ме = (n + 1) /2(6.13)

Где n – число членов ряда.

Например. Имеются данные по зарплате 9 работников, руб.

6300, 6500, 6800, 6900, 7000, 7100, 7200, 7300, 7500

N_Ме = 5 Ме= 7000 руб. (т.е. одна половины рабочих получила зарплату менее 7000 руб., а другая – более.)

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медиана определяется по формуле:

 

(∑ f) /2 - S _Ме-1

Ме =Х_Ме + i_Ме--------------------- (6.14)

f _Ме

Где Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_{Ме –} медианный интервал;

(∑ f) /2 - половина от общего числа наблюдений;

S _Ме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f _Ме - число наблюдений в медианном интервале.

Рассчитаем медиану по данным задачи 6. Прежде найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет 2 интервал (3—5 лет), поскольку его кумулятивная частота равна 60+ 125=185, что превышает половину суммы всех частот (250:2 = 125). Нижняя граница интервала 3 года., его частота 115; частота накопленная до него, равна 60.

Подставив данные в формулу (6.14), получим, лет:

Ме = 3+2 (125-60)/115 = 4,13.

Полученный результат говорит о том, что из 250 грузовых машин предприятий 125 машин имеют срок службы менее 4,13 лет, а 125 машин - более.

Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности.

Мода и медиана в отличие от степенных средних является конкретными характеристиками, их значение имеет какого-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношении моды, медианы и средней арифметической позволяет оценит ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Показатели вариации.

Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Т.о., величина кажд. варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Например. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими составляло: в первой бригаде — 95, 100, 105 (X_ср1 = 100 шт.); во второй бригаде — 75, 100, 125 (Х_ср2 = 100 шт.).

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет х1 = х2 = 100шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, используется для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения её величины в разных совокупностях или по разным признакам. Он представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака,:

R =x_max – x _min (6.15)

В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде R = 10шт (т.е. 105 - 95); во 2 бригаде R= 50 шт. (т.е. 125 - 75), что в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более "устойчива". Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3х125), а в первой только 315 шт., т.е. (3 х 105). Так же применяется при расчете величины интервала, предупредительном контроле качества продукции, установлении цен при действии спроса и предложения.

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа — среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение d_ср представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонении отдельных вариантов от их средней арифметической, при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (х - х_ср).

Среднее линейное отклонение:

для несгруппированных данных

(первичного ряда) Σ /х - х_ср/

d_ср = ————, (6.16)

n

где n - число членов ряда;

для сгруппированных данных

(вариационного ряда)

Σ /х - х_ср/f

d_ср = ——-----------, (6.17)

Σf

где Σf - сумма частот вариационного ряда.

 

В формулах разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных) (ơ²-сигма):

простая дисперсия для несгруппированных данных

Σ (х – х_ср)²

ơ² = -------------- (6.18)

n

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Σ (х – х_ср)² f

ơ² = -------------- (6.19)

Σf

Дисперсия число всегда неименованное.

Среднее квадратическое отклонение ơ равно корню квадратному из дисперсии:

для несгруппированных данных:

Σ (х – х_ср)²

ơ = -------------- (6.19)

n

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому, экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

Глоссарий: средняя величина, средняя арифметическая простая, средняя арифметическая взвешенная, средняя хронологическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, мода, медиана, дисперсия

Контрольные вопросы:

1. Что такое средняя величина?

2. Как исчислить среднюю арифметическую простую?

3. Что такое варианты и частоты?

4. Как исчислить среднюю арифметическую взвешенную?

5. Как исчислить среднее значение интервала?

6. Как вычислить среднюю хронологическую?

7. Как вычислить среднюю гармоническую?

8. Как вычислить среднюю геометрическую?

9. Формула для исчисления моды?

10.Формула для исчисления медианы?

12.Расчет размаха вариации?

13.Как определить дисперсию признака?

14.Что такое квадратическое отклонение?

Тема 7. Индексы.

1. Индексы и их классификация.

2. Виды индексов и методы их расчета.

 

Индексы являются особым видом относительных величин. Экономические индексы являются одним из основных обобщающих показателей, применяемых для экономико-статистических исследований. Они используются для характеристики динамики явлений, для сравнения явлений в пространстве.

Индекс - относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т.д.).

Когда рассматривается сопоставление уровней изучаемого явления во времени, то говорят об индексах динамики, в пространстве — о территориальных индексах, при сопоставлении с уровнем, например, договорных обязательств — об индексах выполнения обязательств и т.д.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина – значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения.

С помощью индексов решаются три главные задачи.

1. Индексы позволяют измерять изменение сложных явлений. Например, требуется установить, насколько увеличился (или уменьшился) в данном году по сравнению с прошлым годом физический объем всей продукции предприятия. Ясно, что продукция разного вида и качества не поддается непосредственному суммированию. Для характеристики изменения таких сложных явлений во времени применяют индексы динамики. В качестве меры соизмерения разнородных продуктов можно использовать цену, себестоимость, трудоемкость продукции и т.д. При помощи индексов можно характеризовать изменение во времени самых различных показателей: ВВП, реальных располагаемых денежных доходов, численности работающих, уровня безработицы, цен акций предприятий региона, стоимости, производительности труда и т.п.

2. С помощью индексов можно определить влияние отдельных факторов на изменение динамики сложного явления (например, влияние изменения уровня цен и изменения количества проданных товаров на объем товарооборота). Используя взаимосвязь индексов, можно установить в какой мере выпуск продукции возрос за счет увеличения численности работников, и в какой мере - за счет повышения производительности труда.

3. Индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом (сравнение во времени), но и с другой территорией (сравнение в пространстве), а также с нормативами, планами, прогнозами. Например, можно сравнить среднедушевое потребление какого-либо продукта в России и в других странах.

Индексы классифицируют по трем признакам: по характеру изучаемых объектов; степени охвата элементов совокупности; методам расчета общих индексов.

1.По содержанию индексируемых величин индексы разделяются на индексы количественных (объемных) и индексы качественных показателей.

Индексы количественных показателей — индексы физического объема промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объема розничного товарооборота, национального дохода, потребления продаж иностранной валюты и др. Все индексируемые показатели этих индексов являются объемными, поскольку они характеризуют общий, суммарный размер (объем) того или иного явления и выражаются абсолютными величинами. При расчете таких индексов количества оцениваются в сопоставимых ценах.

Индексы качественных показателей — индексы курсов валют, цен, себестоимости, производительности труда, средней заработной платы, урожайности и др. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на количественно измеримую единицу совокупности: цена за единицу продукции, себестоимость единицы продукции, выработка в единицу времени (или на одного работника), заработная плата одного работника, урожайность с одного гектара и т.д. Такие показатели называются качественными. Они носят расчетный, вторичный характер. Качественные показатели измеряют не общий объем, а интенсивность, эффективность явления или процесса. Как правило, они являются либо средними, либо относительными величинами. Расчет таких индексов производится на базе одинаковых, неизменных количеств продукции.

Разделение индексов на индексы количественных и качественных показателей важно для методологии их расчета.

2. По степени охвата единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления (например, изменение объёма выпуска телевизоров определенной марки, рост или падение цен на акции в каком-либо акционерной обществе и т.д.)

Общие индексы - отражают изменение всех элементов сложного явления. При этом под сложным явлением понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию (физический объем продукции, включающей разноименные товары, цены на разные группы продуктов и т.д.).

Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Статистика применяет, главным образом, общие и групповые индексы, которые и составляют особый прием исследования, именуемый индексным методом.

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, принято возле символа индекса внизу справа ставить подстрочные знаки: 1 - для сравниваемых (текущих, отчетных) периодов и 0 - для периодов, с которыми производится сравнение. Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый из периодов обозначается соответственно подстрочными знаками 0, 1, 2, 3 и т.д.

Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: i_q - индивидуальный индекс объема произведенной продукции отдельного вида или количества (объема) проданного товара данного вида, i_р - индивидуальный индекс цен и т.д.

Общий индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, Iр - общий индекс цен; Iz - общий индекс себестоимости.

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу (явлению) и не требуют суммирования данные. Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения обязательств, сравнения. Выбор базы сравнения определяется целью исследования.

Расчет индивидуальных индексов прост, их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин:

i_р = p₁ / p_о - индивидуальный индекс цен, где р₁, р₂ – цены единицы продукции в текущем (отчетном) и базисном периодах.

i_q = q₁ / q₂ - индивидуальный индекс физического объема продукции.

С аналитической точки зрения индивидуальные индексы темпам роста и характеризуют изменения индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т.е. во сколько раз она возросла (уменьшилась) или только процентов составляет ее рост (снижение). Значения индексов выражают в коэффициентах или процентах. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, т.е. (i -100), то полученная разность покажет на сколько процентов возросла (уменьшилась) индексируемая величина.

Так, если в I квартале 2011г. цена 1 т сырья на рынке -15 тыс. руб, а во II квартале – 17,10 тыс.руб, то i_р = 17,10/15 = 1,14 или 114 %, т.е. цена на сырье повысилась на 14 %, это разность (114-100).

В экономических расчетах для измерения динамики сложного явления чаще всего используются общие индексы. Построение этих индексов и является содержанием индексной методологии.

Методика расчета общих индексов сложнее, чем индивидуальных, и различна в зависимости от характера индексируемых показателей, наличия исходных данных и целей исследования.

Любые общие индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы постоянного (фиксированного) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах постоянного состава — на базе неизменной структуры явлений.

Агрегатный индекс является основной формой индекса. "Агрегатным" он называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов - сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая - остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Вес индекса служит для соизмерения индексируемых величин.