Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом мате­матических свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов.

В статистическом анализе применяются следующие свойства средней арифметической:

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(если частоты равны единице);

(если частоты различны).

Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются.

2. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вари­антов на частоты :

3. Если к каждому значению признака прибавить или отнять какое-либо произвольное число А, то новая средняя соответственно увеличится или уменьшится на то же число А:

.

4. Если каждое значение признака умножить или разделить на одно какое-либо число А, то и новая средняя соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз:

5. Если все частоты (веса) разделить или умножить на одно и то же число А, то величина средней не изменится:

6. Сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины А:

<

=min.

7. средняя арифметическая суммы (разности) признаков равна сумме (разности) их средних арифметических.

Метод моментов

Для расчета средней арифметической в случае интервального ряда с равными интервалами применяется метод моментов (см. § 6.4).

Свойства средней арифметической во многих случаях позволяют упростить расчеты на основе следующего алгоритма:

1. Из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (А);

2. Разность сократить на общий множитель ();

3. Рассчитать момент первого порядка () по формуле:

.

4. Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

= + А.

Данный способ вычисления средней называется методом моментов (способ отсчета от условного нуля). В этой формуле: - величина момента первого порядка; - величина интервала; - центральный вариант ряда (условный 0).

В качестве произвольной постоянной величины (А) обычно выбирают один из центральных вариантов ряда:

При нечетном числе интервалов в качестве общего множителя () берут общий наибольший делитель, равный величине интервала. При четном числе интервалов общий множитель () равен половине величины интервала.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая принципиально не отличается от средней арифметической, но является обратной по отношению к ней. Она применятся, когда изучаемые показатели являются взаимообратными, т.е. связаны между собой как и (например, затраты времени на единицу продукции и выработка продукции в единицу времени).

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение ().

Пример 5.3. Рассчитать среднюю стоимость тура по трем направлениям на основе данных, представленных в табл. 5.2.

Таблица 5. 2

Основные показатели деятельности туристской фирмы

(данные условные)

Направление	Цена, тыс. руб	Выручка от реализации, тыс. руб. ()
№ 1
№ 2
№ 3
Итого

Решение. В условии отсутствуют данные о количестве туров по каждому их трех направлений. В этом случае целесообразно применить формулу средней гармонической взвешенной:

= тыс. руб.

Число туров косвенно определяется в знаменателе формулы:

В этом случае формула средней арифметической приводит к неверному ответу, так как в расчет принимаются только три значения (10, 12 и 8 тыс. руб.) из 12-ти.

Рассмотрим случаи применения других степенных средних величин. Средняя геометрическая применяется в анализе динамики для расчета среднего темпа роста. Средняя квадратическая наиболее широко используется при расчете показателей вариации, средней площади. Средняя кубическая применяется, когда необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных величин (например, при расчете среднего объема).