Нормированная спектральная плотность

Наряду со спектральной плотностью часто используют нормированную спектральную плотность.

Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции Х (t) называют отношение спектральной плотности к дисперсии случайной функции:

Пример. Задана спектральная плотность s_x (ω)=5/(π (1+ ω ²)) стационарной случайной функции Х (t). Найти нормированную спектральную плотность.

Решение. Найдем дисперсию:

Найдем искомую нормированную спектральнуюплотность, для чего разделим заданную спектральную плотность на дисперсию D_x =5; в итоге получим

Нормированная спектральная плотность представима в виде косинус-преобразования Фурье нормированной корреляционной функции:

Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточно разделить на D_x обе части соотношения (***) (см. § 3). В свою очередь, нормированная корреляционная функция выражается через нормированную спектральную плотность при помощи обратного преобразования Фурье:

В частности,положив τ=0 и учитывая, что ρ_x (0)=1,

получим

или

Геометрически этот результат означает, что площадь, ограниченная снизу осью Oω и сверху кривой , равна единице.

Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций

Пусть X (t) и Y (t)—стационарные и стационарно связанные случайные функции со взаимной корреляционной функцией r_xy (τ).

Взаимной спектральной плотностью двух стационарных и стационарно связанных случайных функций Х (t)и Y (t) называют функцию s_xy (ω), определяемую преобразованием Фурье:

В свою очередь, взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье:

Пример. Задана корреляционная функция k_x (τ) стационарной случайной функции X (t). Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) взаимную спектральную плотность случайных функций X (t) и Y (t)= Х (t - t ₀).

Решение. а) Легко убедиться, что Y (t) — стационарная функция. Найдем взаимную корреляционную функцию:

Отсюда видно, что стационарные функции Х (t) и Y (t)стационарносвязаны (их взаимная корреляционная функция зависиттолькоотразности аргументов τ).

б) Найдем взаимную спектральную плотность:

Итак, искомая взаимная спектральная плотность

Дельта-функция

Дельта-функция δ (t) является примером обобщенной функции (обобщенная функция—предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции f (t) ее значение при t=0:

Правую часть равенства можно представить в виде предела:

(ε>0),

где

Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций δ_ε (t) при ε→0. Учитывая, что δ_ε(t)→0 при t≠ 0, δ_ε→∞ при t →0 и условно пишут

Физически дельта-функцию можно истолковать как плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле.

Можно доказать, что дельта-функция представима интегралом Фурье:

Отсюда

Замечание. В приложениях часто используют соотношение,

которое вытекает из сказанного выше.

 

Стационарный белый шум

Стационарным белым шумом называют стационарную случайную функцию Х (t), спектральная плотность которой постоянна:

s_x (ω)=s=cons t.

Найдем корреляционную функцию белого шума. Используя формулу (**) (см. § 3)

получим

Приняв во внимание, что [см. § 6, соотношение (*)]

окончательно имеем

(**)

Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэффициент пропорциональности 2πs называют интенсивностью стационарного белого шума.

Дельта-функция равна нулю при всех значениях τ≠0, поэтому и корреляционная функция k_x (τ) также равна нулю при этих же значениях τ [это видно из формулы (**)]. Равенство же нулю корреляционной функции стационарного белого шума означает некоррелированность любых двух его сечений—случайных величин Х (t ₁) и Х (t₂)(t ₁≠ t ₂).Благодаря этой особенности белый шум находит широкое применение в теории случайных функций и ее приложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях t ₁ и t ₂ соответствующие случайные величины Х (t ₁) и Х (t ₂) в известной степени коррелированы.

Таким образом, стационарный белый шум—математическая абстракция, полезная для теории случайных функций и ее приложений. В частности, белый шум используют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в определенном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не интересует.

Пример. Спектральная плотность стационарной случайной функции Х (t) постоянна в диапазоне частот (- ω ₀, ω ₀). а вне его равна нулю:

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию случайнойфункции Х (t).

Решение, а) Найдем искомую корреляционную функцию:

Итак,

б) Найдем искомую дисперсию:

Итак,

D_x=2sω₀.

 

§ 8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида

где Х (t) — входная стационарная случайная функция (воздействие, возмущение), Y (t) — выходная случайная функция (реакция, отклик).

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t, т. е. по окончании переходного процесса, функцию Y (t) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предполагается, что X (t) и Y (t) — стационарные случайные функции.

Поставим перед собой задачу найти характеристики выходной функции по известным характеристикам входной функции.

Найдем математическое ожидание т_y, зная т_x, для чего приравняем математические ожидания левой и правой частей уравнения (*). Учитывая, что Х (t) и Y (t) — стационарные случайные функции, а значит, математические ожидания производных этих функций равны нулю, получим

a_nm_y=b_mm_x

Отсюда искомое математическое ожидание

m_y=b_mm_x/ a_n (**)

Пример 1. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением

Y ’(t)+ 2Y (t)=5 X ’(t)+6 X (t).

подается стационарная случайная функция Х (t) с математическим ожиданием т_x= 10. Найти математическое ожидание случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. Используя формулу (**), получим

m_y=b_mm_x/ a_n=(6/2)10=30.

Введем понятия передаточной функции и частотной характеристики, которые понадобятся далее. Предварительно запишем уравнение (*) в операторной форме, обозначив оператор дифференцирования через р, — через р ² и т. д. В итоге уравнение (*) примет вид

(a ₀ pⁿ+a ₁ p^n-l+... +a_n) Y (t) = (b ₀ p^m+b ₁ p^m-l+... +b_m)X (t). (***)

«Решим»это уравнение относительно Y (t):

(****)

Передаточной функцией линейной динамической системы называют отношение многочлена относительно р при Х (t)к многочлену при Y (t) в операторном уравнении (***):

Из соотношения (****) следует, что выходная и входная функции связаны равенством

Y (t) = Ф(р) Х (t).

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент iω (ω —действительное число):

Доказано, что спектральные плотностивыходнойивходной функций связаны равенством

s_y (ω)= s_x (ω)|Ф(iω)|².

Отсюда заключаем: для того чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики.

Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию [§ 3, формула (**)]:

а следовательно, и дисперсию:

Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

3 Y ’(t)+ Y (t)=4 X '(t)+X(t),

подается стационарная случайная функция Х (t) с корреляционной функцией k_x (τ) = 6 e^-τ. Найти дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение 1. Найдем спектральную плотность выходной функции. Используя решение примера 2 (см. § 4) при D =6 и α=2, получим

2. Найдем передаточную функцию, длячего напишем заданное уравнение в операторной форме:

(3 р +1)Y(t)=(4 р +1) Х (t).

Отсюда

Следовательно, передаточная функция

3. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в передаточной функции аргумент р на iω):

4. Найдем спектральную плотность выходной функции, длячегоумножим спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики:

5. Найдем искомую дисперсию:

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию:

D_у= 96,4.

Задачи

1. Найти дисперсию стационарной случайной функции X (t), зная ее спектральную плотность

Отв. D_x=6.

2. Найти спектральную плотность стационарнойслучайнойфункции Х (t), знаяее корреляционную функцию

Отв.

3. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х (t), зная ее корреляционную функцию k_x (τ)=5e^-2|τ|.

Отв. s_x (ω) = 10/(π (4 + ω ²)).

4. Задана спектральная плотность s_x (ω)=6/(π (1+ ω ²)) стационарной случайной функции Х (t). Найти нормированную спектральную плотность.

Отв. s_xнорм(ω)=1/(π (1 – ω²)).

5. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции Х (t), зная ее спектральную плотность

Отв.

6. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (t)постоянна в диапазоне частот (ω ₁, ω ₂), а вне его равна нулю:

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функции Х (t).

Отв. а) , б) D_x = s (ω₂-ω₁),в) ρ_x (τ)=

7. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y' (t) + 3 Y (t) =X' (t) + 4 X(t),подается стационарная случайная функция Х (t)с математическим ожиданием m_x =6 и корреляционной функцией k_x (τ)=5e^{-2 τ}. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции Y (t) навыходе системы в установившемся режиме.

Отв. m_y=8; D_y=22/3.

8. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

Y '(t) + 5 Y (t)+6 Y (t)=X’(t)+X(t),

подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием m_х =4 и корреляционной функцией k _x(t) =е^-τ. Найти математическое ожидание и спектральную плотность случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Отв. m_y =2/3; s_y (ω)=1/[25π ω ²+(9= ω ²)²].

9. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением

Y ```(t)+6 Y ``(t)+11 Y `(t)+6 Y (t)=7 X "'(t)+5 X (t),

подается стационарная случайная функция Х (t)с известной корреляционной функцией k_x (τ)=2e^-|τ|(1+|τ|). Найти спектральную плотность случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Указание. Разложить на линейные множители знаменатель передаточной функции: р ³+б р ²+11 р +6=(р +1) (p +2)(p +3).

Отв. s_y(ω)=4(49 ω ⁶+25)/(π(ω ²+l)³(ω ²+4)(ω ²+9)).

10. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y' (t)+ Y (t)=(t), поступает случайная функция Х (t) с постоянной спектральной плотностью S₀ (стационарный белый шум). Найти дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Отв. D = s ₀ π.

 

ДОПОЛНЕНИЕ

А. Пример расчета многоканальной системы