Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению σ²₀. На практике σ²₀ устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² с k=n—1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению σ²₀.

Учитывая, что S² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:

H₀:М(S²)= σ²₀.

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная σ²₀, а найденная по выборке окажется значимо больше σ²₀, то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (n—1)S²/ σ²₀. Эта величина случайная, потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение χ² с k=n—1 степенями свободы (см. гл. XII, § 13), обозначим ее через χ².

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы

 

Χ²=(n - 1)S²/ σ²₀.

 

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза Н₀: σ² = σ²₀. Конкурирующая гипотеза Н₁: σ² > σ²₀.

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

 

Р[χ²> χ²_кр(α,k)]=α.

 

Критическую точку χ²_кр(α,k) находят по таблице критических точек распределения χ² (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством χ² > χ²_кр, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством χ² < χ²_кр.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через χ²_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: σ² = σ²₀ о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: σ² > σ²₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ²_набл=(n - 1)S²/ σ²₀ и по таблице критических точек распределения χ², по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку χ²_кр(α,k).

Если χ²_набл < χ²_кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ²_набл > χ²_кр —нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²= 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: σ² = σ²₀ = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: σ² > 12.

Решение. Найдем наблюденное значение критерия:

 

χ²_набл=(n - 1)S²/ σ²₀ = ((13-1)·14,6)/12=14,6.

 

По условию, конкурирующая гипотеза имеет видσ² > 12, поэтому критическая область правосторонняя.

По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k = n— 1 == 13— 1 == 12 находим критическую точку χ²_кр (0,01; 12) =26,2.

Так как χ²_набл < χ²_кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.

 

Второй случай. Нулевая гипотеза Н₀: σ² = σ²₀. Конкурирующая гипотеза Н₁: σ² ≠ σ²₀.

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.

Критические точки—левую и правую границы критической области—находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из двух интервалов критической области была равна α/2:

 

P[ χ² < χ²_лев.кр(α/2,k) ]=α/2,

P[ χ² > χ²_лев.кр(α/2,k) ]=α/2.

 

В таблице критических точек распределенияχ² указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события χ² < χ²_лев.кр и χ² > χ²_лев.кр противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

 

Р (χ² < χ²_лев.кр) + Р (χ² > χ²_лев.кр) =1.

 

Отсюда

 

Р (χ² < χ²_лев.кр) =1- Р (χ² > χ²_лев.кр) =1-(α/2).

 

Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1—(α/2).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии σ² нормальной совокупности гипотетическому значению σ²₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: σ² ≠ σ²₀ надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ²_набл=(n - 1)S²/ σ²₀ и по таблице найти левую критическую точку χ²_кр (1—α/2; k) и правую критическую точку χ²_кр (α/2;k).

Если χ²_лев.кр < χ²_набл < χ²_{прав.кр} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл < χ²_лев.кр или χ²_набл > χ²_{прав.кр} — нулевую гипотезу отвергают.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s²=10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу Н₀: σ² = σ²₀ = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: σ² ≠ 12.

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

 

χ²_набл=(n - 1)S²/ σ²₀ = ((13-1)·10,3)/12= 10,3.

 

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид σ² ≠ 12, то критическая область — двусторонняя.

По таблице приложения 5 находим критические точки: левую — χ²_кр (1—α/2; k) = χ²_кр (1-0,02/2; 12) = χ²_кр (0,99; 12) =3,57 и правую - χ²_кр (α/2; k) = χ²_кр (0,01; 12)=26,2. Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < 26,2)—нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии (12).

 

Третий случай. Конкурирующая гипотеза Н₁: σ² < σ²₀.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: σ² < σ²₀ находят критическую точку χ²_кр (1—α; k).

Если χ²_набл > χ²_кр (1—α; k)—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл < χ²_кр (1—α; k)—нулевую гипотезу отвергают.

 

Замечание 1. В случае, если найдена выборочная дисперсия D_в, в качестве критерия принимают случайную величину χ² =D_в/ σ²₀, которая имеет распределение χ² с k=n—1 степенями свободы, либо переходят к s² = [n/(n— 1)] Dв.

Замечание 2. Если число степеней свободы k > 30, то критическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона – Гилферти

 

.

 

где z_α определяют, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф(z_α)=(1—2α)/2.