Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

По независимым выборкам, объемы которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и .

Требуется сравнить эти дисперсии.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_о: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H₁: D(X)>D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей):

и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , (k₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку . Если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Пример 9.3. По двум независимым выборкам, объемы которых =11 и =14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 0,76 и = 0,38. При уровне значимости = 0,05, проверить нулевую гипотезу H_о: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе H₁: D(X)>D(Y).

Решение:

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

.

По таблице (приложение 3), по уровню значимости = 0,05 и числам степеней свободы

,

находим критическую точку

.

Так как – нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются незначимо.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H₁: D(X) D(Y), критическую точку ищут по уровню значимости (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ —число степеней свободы большей дисперсии). Если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

 

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.281 – 293.

Контрольные вопросы:

1. Что вы понимаете под словом «гипотеза»?

2. Какую гипотезу называют статистической? Приведите примеры таких гипотез.

3. Какую гипотезу называют нулевой, конкурирующей, простой, сложной?

4. Сформулируйте основной принцип проверки гипотез.

5. Каким образом происходит сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей?

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 9.1. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 11 и n₂ =14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии = 0,76 и = 0,38. При уровне значимости а = 0,05, проверить нулевую гипотезу Н₀: D (X) = D (Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D (X) > D (Y).

Задание 9.2. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 9 и n₂ =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =34,02 и = 12,15. При уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу Н₀: D (X) = D (Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н₁: D (X) < D (Y).

Вопросы к экзамену

1. Предмет теории вероятностей.

2. Правила комбинаторики (сложения и произведения).

3. Типы комбинаторных комбинаций. Перестановки.

4. Типы комбинаторных комбинаций. Размещения.

5. Типы комбинаторных комбинаций. Сочетания.

6. Понятие случайного события.

7. Виды случайных событий.

8. Операции над событиями.

9. Классическая вероятность и ее свойства.

10. Алгоритм решения задач на классическую вероятность.

11. Статистическое определение вероятности.

12. Геометрическое определение вероятности.

13. Теоремы сложения вероятностей.

14. Теоремы умножения вероятностей.

15. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

16. Формула Бернулли.

17. Локальная теорема Лапласа.

18. Интегральная теорема Лапласа.

19. Понятие случайной величины.

20. Виды случайных величин.

21. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

22. Многоугольник распределения.

23. Функция распределения.

24. Математическое ожидание случайной величины.

25. Свойства математического ожидания.

26. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

27. Свойства дисперсии.

28. Биноминальное распределение.

29. Распределение Пуассона.

30. Равномерное распределение.

31. Нормальное распределение.

32. Понятие о системе нескольких случайных величин.

33. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

34. Функция распределения двумерной случайной величины.

35. Плотность непрерывной двумерной случайной величины.

36. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин.

37. Предмет математической статистики.

38. Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка.

39. Основные виды выборок.

40. Способы отбора выборок.

41. Вариационный ряд.

42. Графическое представление вариационных рядов. Гистограмма.

43. Графическое представление вариационных рядов. Полигон частот.