Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается .

Выборочную дисперсию вычисляют по приведенным ниже формулам:

для несгруппированных данных:

для сгруппированных в интервальный вариационный ряд данных:

Размерность дисперсии не совпадает с единицами измерения варьирующего признака. Дисперсия измеряется в единицами измерения признака в квадрате.

Стандартным отклонением (или средним квадратическим отклонением) называется корень квадратный из дисперсии:

Размерность стандартного отклонения в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения варьирующего признака, поэтому в практической статистике для того, чтобы охарактеризовать рассеяние признака используют обычно стандартное отклонение, а не дисперсию.

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и характеризуемый им признак. Если требуется сравнить между собой степень варьирования признаков, выраженных в разных единицах измерения, возникают определенные неудобства. Пусть, например, результаты в беге на 100 м, показанные группой учащихся, имеют стандартное отклонение 0,9 сек (при среднем времени 14,8 сек), а исследование роста тех же учащихся показывает, что его стандартное отклонение составляет 6 см (при среднем росте 168 см). Какой из признаков варьирует сильнее? Очевидно, что только на основании сравнения стандартных отклонений на этот вопрос ответить нельзя. Требуется сопоставить стандартные отклонения со средними арифметическими этих признаков. Поэтому вводится относительный показатель называемый коэффициентом вариации.

Обычно он выражается в процентном отношении:

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, т. е. полученной из одной генеральной совокупности.

Практически коэффициент вариации применяется в основном для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей.

Коэффициент вариации можно использовать как относительную меру рассеяния только в тех случаях, когда значения признака измерены в шкале с абсолютным нулем.

Коэффициент осцилляции

С целью, аналогичной введению коэффициента вариации, вводится коэффициент осцилляции по формуле:

Литература:

Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.187 – 197.

Контрольные вопросы:

1. Каково назначение математической статистки?

2. На какие области подразделятся математическая статистика?

3. Что называют генеральной совокупностью, выборочной совокупностью?

4. Какие виды выборок вы знаете? Дайте им определение. Приведите примеры.

5. Какие способы отбора применяются при формировании выборки?

6. Что представляют собой вариационные ряды? Каких типов они бывают? Приведите примеры.

7. Что представляют собой гистограмма и полигон частот?

8. Что представляет собой эмпирическая функция распределении? Какими свойствами она владеет?

9. Перечислите числовые характеристики выборки. Дайте им определения и методику их расчета.

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 7.1. Выборка задана в виде распределения частот:

X
ni

Найти распределение относительных частот. Найти эмпирическую функцию. Построить полигон частот и гистограмму.

Задание 7.2. Выборка сгруппированных данных случайной величины Х определена таблицей:

X
ni

Найти числовые характеристики выборки.

Задание 7.3. Выборка сгруппированных данных случайной величины Х определена таблицей:

X	10-20	21-30	31-40	41-50	51-60	61-70	71-80
ni

Найти числовые характеристики выборки, эмпирическую функцию. Построить полигон частот, гистограмму и график эмпирической функции.

Тема 8

Теория оценок

 

8.1. Статистические оценки параметров распределения.

8.2.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

8.3. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал.

 

8 .1. Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение; если же есть основания считать, что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр X, которым это распределение определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая x₁, x₂,..., х_п как независимые случайные величины x₁, x₂,..., х_п, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения — это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.