ТОП 10:

Построение доверительного интервала дисперсии



В курсе математической статистики доказано, что в выборке из нормальной ге-

неральной совокупности с параметрами случайная величина ,

где – оценка неизвестной дисперсии, равная , имеет распределение

с n степенями свободы. Если параметр неизвестен, то в выражении можно заменить на его оценку ; в этом случае случайная величина также имеет распределение , но уже с , а не с n степенями свободы.

Пусть числа выбраны таким образом, что

, (9)

где – заданная доверительная вероятность.

Равенство (9) означает, что c вероятностью . Последнее двойное неравенство эквивалентно следующему:

. (10)

Следовательно, является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности .

Однако по заданной вероятности можно построить множество доверительных интервалов для дисперсии. Принято выбирать так, чтобы вероятности были равны и равны (рис. 1).

Соответствующие значения могут быть определены по таблице А2.

 

Замечание. При больших объемах выборок можно воспользоваться тем, что рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии распределены

асимптотически нормально.

 

 
 
Рисунок 1. График плотности - распределения с степенями свободы

 


 

x

 

 

Пример выполнения и оформления лабораторной работы

Дана выборка объемом (табл. 1) из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 1

 

№ п/п Элементы выборки № п/п Элементы выборки № п/п Элементы выборки № п/п Элементы выборки
0,047 0,496 -1,7888 0,118
- 0,451 - 0,748 - 0,855 0,242
1,661 - 0,083 0,095 1,739
1,290 - 0,312 1,192 - 0,412
0,380 -1,372 - 0,059 - 0,426

 

Найдем по формулам (1) и (3) оценки математического ожидания и дисперсии, ;

; .

Так как объем выборки невелик, для построения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся формулой (8):

.

 

Доверительную вероятность положим равной 0,95, . По таблице А3 по заданным и определим .

Доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности :

или .

При построении доверительного интервала дисперсии положим . Тогда . определим из условия ; определим из условия (рис. 1).

По таблице А2 по заданным вероятностям Р (0,01 и 0,99) и заданному числу степеней свободы находим .

Доверительный интервал дисперсии, соответствующий доверительной вероятности , определяется по формуле (10):

 

.

 

Контрольные вопросы

1. Какие оценки параметров называются точечными?

2. Что такое состоятельность, эффективность и несмещенность точечных оценок?

3. В чем состоит метод моментов определения точечных оценок?

4. Что такое доверительный интервал, доверительная вероятность?

5. Что такое -распределение?

6. Чему равны параметры -распределения?

7. Охарактеризуйте распределение Стьюдента.

8. Почему рассмотренный способ построения доверительных интервалов применим только при выборке из нормальной генеральной совокупности?

 

Исходные данные для лабораторной работы 3

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 № 6 № 7 № 8
14.0618 13.9026 9.7201 4.5309 4.5895 1.3838 2.7815 3.3193
8.3743 9.3662 7.0484 1.6871 2.7518 2.2614 2.0608 2.1679
10.5340 9.8535 10.3314 2.7670 2.5774 2.0527 2.6861 0.7953
8.3692 9.9277 9.4375 1.6846 -0.1472 4.1610 0.3430 2.8549
6.1272 13.5391 2.8829 0.5636 2.7595 5.8933 4.1759 3. 8020
8.3367 9.3665 12.8088 1.6683 4.3083 2.0556 1.0904 2.6005
6.0887 5.5420 12.9074 0.5443 3.5989 4.2906 1.2135 1.3975
15.8841 11.1165 11.0593 5.4420 3.4770 2.7852 2.0429 1.8426
11.4487 12.2644 12.3446 3.2243 2.9288 1.0032 1.6892 1.7857
14.9212 5.6033 9.6526 4.0696 1.4865 2.9437 1.3375 4.7483
10.94660 8.6225 7.5382 2.9733 3.7393 2.2365 1.2331 3.8656
7.7502 18.7922 4.8506 1.3751 1.5352 1.8115 3.8611 2.8041
10.8847 5.9896 3.8854 2.0423 1.1407 2.9279 0.5610 1.2308
10.9459 6.9886 11.0175 2.9729 4.2322 2.6340 4.3141 1.0685
10.0820 12.5703 4.2322 2.5410 2.1104 2.0686 3.6719 1.4731
10.6369 11.2834 16.3435 2.8184 2.0427 3.6761 0.5940 0.8569
11.7293 11.1766 9.7315 3.3646 -1.0828 4.9285 2.9197 1.8717
9.6295 8.7034 10.0323 2.3147 0.0672 1.6805 2.5044 3.4308
12.5630 11.6438 7.9443 3.7815 2.7772 0.0763 2.7641 1.5044
11.1593 9.7334 8.0382 3.0796 1.7421 2.3921 2.2865 1.7567
8.9934 13.6365 6.5333 1.9967 2.9660 7.2417 -0.4872 3.1034
11.2245 7.2417 12.0460 3.1122 4.9154 2.8902 6.5746 0.7403
10.4674 2.4929 6.5716 2.7337 4.7761 -0.3142 2.3394 1.6882
9.6694 9.4939 6.5252 2.3347 0.5675 3.3176 3.4595 5.0764
10.6279 16.3353 9.8474 2.8139 2.3807 5.8706 3.3276 1.5786
№ 9 № 10 № 11 № 12 № 13 № 14 № 15 № 16
1.7382 4.4513 2.3600 10.2494 14.1791 7.7676 10.5631 11.6386
-1.3861 2.1831 1.0242 5.6995 10.5037 9.5229 11.1217 9.3359
-1.6256 2.4267 2.6657 7.4272 10.1548 9.1054 10.3722 6.5906
4.6952 2.4639 2.2187 5.6954 4.7054 13.3220 5.6860 10.7098
0.4044 4.2695 -1.0585 3.9017 10.5191 16.7866 13.3519 12.6040
1.7740 2.1832 3.9044 5.6694 13.6167 9.1112 7.1809 10.2011
0.3383 0.2710 3.9537 3.8709 12.1978 11.5813 7.4271 7.7950
1.5354 3.0582 3.0296 11.7073 11.9541 10.5705 9.0859 8.6853
0.2336 3.6322 3.6723 8.1589 10.8577 7.0065 8.3784 8.5715
2.1281 0.3016 2.3263 10.9369 7.9731 10.8874 7.6751 14.4966
1.8812 1.8112 1.2691 7.7573 12.4787 9.4730 7.4662 12.7312
1.5380 6.8961 -0.0746 5.2002 8.0704 8.6231 12.7223 10.6083
4.7133 0.4948 -0.5572 7.7078 7.2814 10.8569 6.1220 7.4617
3.4592 0.9943 3.0087 7.7567 13.4644 10.2680 13.6282 7.1370
3.8422 3.7851 -0.3638 7.0656 9.2208 9.1373 12.3438 7.9462
1.1830 3.1417 5.6717 7.5095 9.0854 12.3522 6.1881 6.7139
2.2497 3.0883 2.3657 8.3834 2.8342 14.8570 10.8395 8.7435
4.5758 1.8517 2.5161 6.7036 5.1345 8.3611 10.0088 11.8617
3.8170 3.3219 1.4721 9.0504 10.5544 5.1526 10.5282 8.0089
3.1059 2.3667 1.5191 7.9274 8.4842 9.7842 9.5731 8.5134
-0.2022 4.3182 0.7666 6.1947 10.9320 19.4835 4.0255 11.2069
1.4266 1.1208 3.5230 7.9796 14.8308 10.7805 18.1493 6.4807
2.6497 -1.2535 0.7858 7.3739 14.5522 4.3714 9.6788 8.3764
1.2410 2.2469 0.7626 6.7355 6.1350 11.6352 11.9190 15.1529
1.9082 5.6676 2.4237 7.5023 9.7615 16.7412 11.6553 8.1572
№ 17 № 18 № 19 № 20 № 21 № 22 № 23 № 24
8.4764 10.3432 5.2141 7.4505 8.3109 5.7811 10.122 6.7761
2.2277 7.4030 6.6183 7.8973 6.4687 0.7822 6.4929 4.6387
1.7486 7.1239 6.2843 7.2977 4.2724 0.3988 6.8828 7.2651
14.3904 2.7643 9.6576 3.5488 7.5678 10.5123 6.9422 6.5500
5.8089 7.4153 12.4253 9.6815 9.0832 3.6471 9.8312 1.3063
8.5481 9.8934 6.2890 4.7447 7.1609 5.8385 6.4932 9.2470
5.6767 8.7583 8.2650 4.9416 5.2360 3.5413 3.4336 9.3259
8.0708 8.5633 7.4564 6.2687 5.9482 5.4567 7.8932 7.8474
5.4673 7.6861 4.6052 5.7027 5.8572 3.3738 8.8115 8.8757
9.2562 5.3784 7.7099 5.1400 10.5973 6.4049 3.4826 6.7221
8.7625 8.9829 6.5784 4.9739 9.1850 6.0100 5.8980 5.0306
8.0761 5.4563 5.8985 9.1778 7.4866 5.4609 14.033 2.8805
14.4267 4.8251 7.6847 3.8976 4.9694 10.541 3.7917 2.1083
11.9385 9.7715 7.2144 9.9026 4.7096 8.5508 5.5909 7.8140
12.6844 6.3767 6.3099 8.8750 5.3569 9.1475 9.0562 2.3858
7.3661 6.2683 8.8817 3.9504 4.3711 4.8923 8.0267 12.0748
9.4994 1.2673 10.8856 7.6716 5.9948 6.5995 7.9413 6. 7852
14.1516 3.1076 5.6889 7.0070 8.4894 10.322 5.6527 7.0259
12.6341 7.4435 3.1221 7.4225 5.4071 9.1073 8.3151 5.3554
11.2119 5.7873 6.8284 6.6585 5.8107 7.9795 6.7867 5.4305
4.5955 7.7456 14.5868 2.2204 7.9655 2.6764 9.9092 4.2267
7.8532 10.8647 7.6244 13.5195 4.1846 5.2826 4.4933 8.6368
10.2995 10.6417 2.4971 6.7430 5.7011 7.2396 0.9943 4.2573
7.4821 3.9080 8.3081 8.5352 11.1223 4.9857 6.5951 4.2201
8.8164 6.8092 12.3929 8.3243 5.5257 6.0531 12.068 6.8779

 

 

№ 25 № 26 № 27 № 28 № 29 № 30
2.7079 2.7860 -1.4882 0.3754 1.0924 -1.0156
-1.0837 0.3358 -0.3180 0.7478 -0.4427 -5.1814
0.3560 0.1032 -0.5963 0.2481 -2.2729 -5.5009
-1.0871 -3.5296 2.2147 -2.8759 0.4732 2.9269
-2.5818 0.3461 4.5244 2.2346 1.7360 -2.7940
-1.1088 2.4111 -0.5924 -1.8793 0.1340 -0.9679
-2.6075 1.4652 1.0542 -1.7152 -1.4699 -2.8821
3.9227 1.3027 0.3803 -0.6093 -0.8764 -1.2860
0.9658 0.5718 -1.9956 -1.0810 -0.9522 -3.0217
3.2808 -1.3521 0.5916 -1.5499 2.0077 -0.4958
0.6310 1.6524 -0.3513 -1.6891 1.8208 -0.8249
-1.4998 -1.2863 -0.9178 1.8148 0.4055 -1.2825
0.5898 -1.8123 0.5706 -2.5853 -1.6921 2.9511
0.6464 2.3096 0.1786 2.4188 -1.9086 1.2923
0.0546 -0.5194 -0.5750 1.5625 -1.3691 1.7896
0.4246 -0.6097 1.5681 -2.5412 -2.1907 -1.7559
1.1528 -4.7771 3.2380 0.5597 -0.8376 -0.3337
-0.2469 -3.2436 -1.0925 0.0059 1.2411 2.7677
1.7086 0.3696 -3.2315 0.3521 -1.3273 1.7561
0.7728 -1.0105 -0.1438 -0.2845 -0.9910 0.8079
-0.6710 0.6213 6.3223 -3.9829 0.8046 -3.6029
0.8163 3.2250 0.5200 5.4329 -2.3461 -1.4311
0.3116 3.0348 -3.7523 -0.2141 -1.0823 0.1997
-0.2203 -2.5766 1.0901 1.2793 3.4352 -1.6785
0.4186 -0.1589 4.4941 1.1035 -1.2285 -0.7890

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

Линейная регрессия

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для данного набора значений независимой переменной и зависимой переменной , построив точки на плоскости, выдвинуть гипотезу о порядке линейной модели.

3. Методом наименьших квадратов найти оценки неизвестных параметров и

построить полученную линию регрессии.

4. Построить доверительные интервалы для оценок неизвестных параметров

для доверительной вероятности . Проверить гипотезу .

5. Построить доверительные интервалы для предсказанных значений для доверительной вероятности и показать их на графике.

6. Проверить построенную модель на адекватность.

7. Составить отчет, в котором привести графики, результаты счета, выводы.

8. Ответить устно на контрольные вопросы.

 

Построение линии регрессии

Связь зависимой переменной с одной или несколькими независимыми пере-

менными представляют в виде уравнения регрессии .

Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач:

а) выбор независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, и определение вида уравнения регрессии;

б) оценивание параметров (коэффициентов) уравнения.

Пусть для одной независимой переменной по расположению точек на плоскости выдвинута гипотеза о линейной зависимости между переменными , т. е. - исход -ого опыта, можно представить в виде:

, (1)

 

где - число опытов, - случайные добавки, при учете которых любой индивидуальный получает возможность не попасть на линию регрессии, - неизвестные параметры. Предполагается, что распределены нормально с параметрами и независимы. Начнем с предположения, что модель установлена, но на последующих стадиях будем проверять, так ли это на самом деле. Модель (1) линейна относительно неизвестных параметров, относительно неизвестной функции модель (1) первого порядка.

В соответствии с методом наименьших квадратов оценки параметров находятся из условия обращения в минимум величины

(2)

Дифференцируя равенство (2) по и приравнивая полученные частные производные нулю, для нахождения оценок получим так называемую нормальную систему:

(3)

Решив систему (3), найдем оценки неизвестных параметров :

 

(4)

Замечание. Для линейной модели второго порядка

,

нормальная система для нахождения оценок неизвестных параметров будет иметь вид

(5)

Если ввести следующие обозначения

то система (5) может быть записана в виде

. (6)

Для модели , , где - значение –й независимой переменной , в -м опыте, нормальная система также будет иметь вид (6), если

 

.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.232.125.29 (0.018 с.)