Построение доверительного интервала дисперсии

В курсе математической статистики доказано, что в выборке из нормальной ге-

неральной совокупности с параметрами случайная величина ,

где – оценка неизвестной дисперсии, равная , имеет распределение

с n степенями свободы. Если параметр неизвестен, то в выражении можно заменить на его оценку ; в этом случае случайная величина также имеет распределение , но уже с , а не с n степенями свободы.

Пусть числа выбраны таким образом, что

, (9)

где – заданная доверительная вероятность.

Равенство (9) означает, что c вероятностью . Последнее двойное неравенство эквивалентно следующему:

. (10)

Следовательно, является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности .

Однако по заданной вероятности можно построить множество доверительных интервалов для дисперсии. Принято выбирать так, чтобы вероятности были равны и равны (рис. 1).

Соответствующие значения могут быть определены по таблице А2.

 

Замечание. При больших объемах выборок можно воспользоваться тем, что рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии распределены

асимптотически нормально.

 

	Рисунок 1. График плотности - распределения с степенями свободы

 

 

x

 

 

Пример выполнения и оформления лабораторной работы

Дана выборка объемом (табл. 1) из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 1

 

№ п/п	Элементы выборки	№ п/п	Элементы выборки	№ п/п	Элементы выборки	№ п/п	Элементы выборки
	0,047		0,496		-1,7888		0,118
	- 0,451		- 0,748		- 0,855		0,242
	1,661		- 0,083		0,095		1,739
	1,290		- 0,312		1,192		- 0,412
	0,380		-1,372		- 0,059		- 0,426

 

Найдем по формулам (1) и (3) оценки математического ожидания и дисперсии, ;

; .

Так как объем выборки невелик, для построения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся формулой (8):

.

 

Доверительную вероятность положим равной 0,95, . По таблице А3 по заданным и определим .

Доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности :

или .

При построении доверительного интервала дисперсии положим . Тогда . определим из условия ; определим из условия (рис. 1).

По таблице А2 по заданным вероятностям Р (0,01 и 0,99) и заданному числу степеней свободы находим .

Доверительный интервал дисперсии, соответствующий доверительной вероятности , определяется по формуле (10):

 

.

 

Контрольные вопросы

1. Какие оценки параметров называются точечными?

2. Что такое состоятельность, эффективность и несмещенность точечных оценок?

3. В чем состоит метод моментов определения точечных оценок?

4. Что такое доверительный интервал, доверительная вероятность?

5. Что такое -распределение?

6. Чему равны параметры -распределения?

7. Охарактеризуйте распределение Стьюдента.

8. Почему рассмотренный способ построения доверительных интервалов применим только при выборке из нормальной генеральной совокупности?

 

Исходные данные для лабораторной работы 3

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7	№ 8
14.0618	13.9026	9.7201	4.5309	4.5895	1.3838	2.7815	3.3193
8.3743	9.3662	7.0484	1.6871	2.7518	2.2614	2.0608	2.1679
10.5340	9.8535	10.3314	2.7670	2.5774	2.0527	2.6861	0.7953
8.3692	9.9277	9.4375	1.6846	-0.1472	4.1610	0.3430	2.8549
6.1272	13.5391	2.8829	0.5636	2.7595	5.8933	4.1759	3. 8020
8.3367	9.3665	12.8088	1.6683	4.3083	2.0556	1.0904	2.6005
6.0887	5.5420	12.9074	0.5443	3.5989	4.2906	1.2135	1.3975
15.8841	11.1165	11.0593	5.4420	3.4770	2.7852	2.0429	1.8426
11.4487	12.2644	12.3446	3.2243	2.9288	1.0032	1.6892	1.7857
14.9212	5.6033	9.6526	4.0696	1.4865	2.9437	1.3375	4.7483
10.94660	8.6225	7.5382	2.9733	3.7393	2.2365	1.2331	3.8656
7.7502	18.7922	4.8506	1.3751	1.5352	1.8115	3.8611	2.8041
10.8847	5.9896	3.8854	2.0423	1.1407	2.9279	0.5610	1.2308
10.9459	6.9886	11.0175	2.9729	4.2322	2.6340	4.3141	1.0685
10.0820	12.5703	4.2322	2.5410	2.1104	2.0686	3.6719	1.4731
10.6369	11.2834	16.3435	2.8184	2.0427	3.6761	0.5940	0.8569
11.7293	11.1766	9.7315	3.3646	-1.0828	4.9285	2.9197	1.8717
9.6295	8.7034	10.0323	2.3147	0.0672	1.6805	2.5044	3.4308
12.5630	11.6438	7.9443	3.7815	2.7772	0.0763	2.7641	1.5044
11.1593	9.7334	8.0382	3.0796	1.7421	2.3921	2.2865	1.7567
8.9934	13.6365	6.5333	1.9967	2.9660	7.2417	-0.4872	3.1034
11.2245	7.2417	12.0460	3.1122	4.9154	2.8902	6.5746	0.7403
10.4674	2.4929	6.5716	2.7337	4.7761	-0.3142	2.3394	1.6882
9.6694	9.4939	6.5252	2.3347	0.5675	3.3176	3.4595	5.0764
10.6279	16.3353	9.8474	2.8139	2.3807	5.8706	3.3276	1.5786
№ 9	№ 10	№ 11	№ 12	№ 13	№ 14	№ 15	№ 16
1.7382	4.4513	2.3600	10.2494	14.1791	7.7676	10.5631	11.6386
-1.3861	2.1831	1.0242	5.6995	10.5037	9.5229	11.1217	9.3359
-1.6256	2.4267	2.6657	7.4272	10.1548	9.1054	10.3722	6.5906
4.6952	2.4639	2.2187	5.6954	4.7054	13.3220	5.6860	10.7098
0.4044	4.2695	-1.0585	3.9017	10.5191	16.7866	13.3519	12.6040
1.7740	2.1832	3.9044	5.6694	13.6167	9.1112	7.1809	10.2011
0.3383	0.2710	3.9537	3.8709	12.1978	11.5813	7.4271	7.7950
1.5354	3.0582	3.0296	11.7073	11.9541	10.5705	9.0859	8.6853
0.2336	3.6322	3.6723	8.1589	10.8577	7.0065	8.3784	8.5715
2.1281	0.3016	2.3263	10.9369	7.9731	10.8874	7.6751	14.4966
1.8812	1.8112	1.2691	7.7573	12.4787	9.4730	7.4662	12.7312
1.5380	6.8961	-0.0746	5.2002	8.0704	8.6231	12.7223	10.6083
4.7133	0.4948	-0.5572	7.7078	7.2814	10.8569	6.1220	7.4617
3.4592	0.9943	3.0087	7.7567	13.4644	10.2680	13.6282	7.1370
3.8422	3.7851	-0.3638	7.0656	9.2208	9.1373	12.3438	7.9462
1.1830	3.1417	5.6717	7.5095	9.0854	12.3522	6.1881	6.7139
2.2497	3.0883	2.3657	8.3834	2.8342	14.8570	10.8395	8.7435
4.5758	1.8517	2.5161	6.7036	5.1345	8.3611	10.0088	11.8617
3.8170	3.3219	1.4721	9.0504	10.5544	5.1526	10.5282	8.0089
3.1059	2.3667	1.5191	7.9274	8.4842	9.7842	9.5731	8.5134
-0.2022	4.3182	0.7666	6.1947	10.9320	19.4835	4.0255	11.2069
1.4266	1.1208	3.5230	7.9796	14.8308	10.7805	18.1493	6.4807
2.6497	-1.2535	0.7858	7.3739	14.5522	4.3714	9.6788	8.3764
1.2410	2.2469	0.7626	6.7355	6.1350	11.6352	11.9190	15.1529
1.9082	5.6676	2.4237	7.5023	9.7615	16.7412	11.6553	8.1572
№ 17	№ 18	№ 19	№ 20	№ 21	№ 22	№ 23	№ 24
8.4764	10.3432	5.2141	7.4505	8.3109	5.7811	10.122	6.7761
2.2277	7.4030	6.6183	7.8973	6.4687	0.7822	6.4929	4.6387
1.7486	7.1239	6.2843	7.2977	4.2724	0.3988	6.8828	7.2651
14.3904	2.7643	9.6576	3.5488	7.5678	10.5123	6.9422	6.5500
5.8089	7.4153	12.4253	9.6815	9.0832	3.6471	9.8312	1.3063
8.5481	9.8934	6.2890	4.7447	7.1609	5.8385	6.4932	9.2470
5.6767	8.7583	8.2650	4.9416	5.2360	3.5413	3.4336	9.3259
8.0708	8.5633	7.4564	6.2687	5.9482	5.4567	7.8932	7.8474
5.4673	7.6861	4.6052	5.7027	5.8572	3.3738	8.8115	8.8757
9.2562	5.3784	7.7099	5.1400	10.5973	6.4049	3.4826	6.7221
8.7625	8.9829	6.5784	4.9739	9.1850	6.0100	5.8980	5.0306
8.0761	5.4563	5.8985	9.1778	7.4866	5.4609	14.033	2.8805
14.4267	4.8251	7.6847	3.8976	4.9694	10.541	3.7917	2.1083
11.9385	9.7715	7.2144	9.9026	4.7096	8.5508	5.5909	7.8140
12.6844	6.3767	6.3099	8.8750	5.3569	9.1475	9.0562	2.3858
7.3661	6.2683	8.8817	3.9504	4.3711	4.8923	8.0267	12.0748
9.4994	1.2673	10.8856	7.6716	5.9948	6.5995	7.9413	6. 7852
14.1516	3.1076	5.6889	7.0070	8.4894	10.322	5.6527	7.0259
12.6341	7.4435	3.1221	7.4225	5.4071	9.1073	8.3151	5.3554
11.2119	5.7873	6.8284	6.6585	5.8107	7.9795	6.7867	5.4305
4.5955	7.7456	14.5868	2.2204	7.9655	2.6764	9.9092	4.2267
7.8532	10.8647	7.6244	13.5195	4.1846	5.2826	4.4933	8.6368
10.2995	10.6417	2.4971	6.7430	5.7011	7.2396	0.9943	4.2573
7.4821	3.9080	8.3081	8.5352	11.1223	4.9857	6.5951	4.2201
8.8164	6.8092	12.3929	8.3243	5.5257	6.0531	12.068	6.8779

 

 

№ 25	№ 26	№ 27	№ 28	№ 29	№ 30
2.7079	2.7860	-1.4882	0.3754	1.0924	-1.0156
-1.0837	0.3358	-0.3180	0.7478	-0.4427	-5.1814
0.3560	0.1032	-0.5963	0.2481	-2.2729	-5.5009
-1.0871	-3.5296	2.2147	-2.8759	0.4732	2.9269
-2.5818	0.3461	4.5244	2.2346	1.7360	-2.7940
-1.1088	2.4111	-0.5924	-1.8793	0.1340	-0.9679
-2.6075	1.4652	1.0542	-1.7152	-1.4699	-2.8821
3.9227	1.3027	0.3803	-0.6093	-0.8764	-1.2860
0.9658	0.5718	-1.9956	-1.0810	-0.9522	-3.0217
3.2808	-1.3521	0.5916	-1.5499	2.0077	-0.4958
0.6310	1.6524	-0.3513	-1.6891	1.8208	-0.8249
-1.4998	-1.2863	-0.9178	1.8148	0.4055	-1.2825
0.5898	-1.8123	0.5706	-2.5853	-1.6921	2.9511
0.6464	2.3096	0.1786	2.4188	-1.9086	1.2923
0.0546	-0.5194	-0.5750	1.5625	-1.3691	1.7896
0.4246	-0.6097	1.5681	-2.5412	-2.1907	-1.7559
1.1528	-4.7771	3.2380	0.5597	-0.8376	-0.3337
-0.2469	-3.2436	-1.0925	0.0059	1.2411	2.7677
1.7086	0.3696	-3.2315	0.3521	-1.3273	1.7561
0.7728	-1.0105	-0.1438	-0.2845	-0.9910	0.8079
-0.6710	0.6213	6.3223	-3.9829	0.8046	-3.6029
0.8163	3.2250	0.5200	5.4329	-2.3461	-1.4311
0.3116	3.0348	-3.7523	-0.2141	-1.0823	0.1997
-0.2203	-2.5766	1.0901	1.2793	3.4352	-1.6785
0.4186	-0.1589	4.4941	1.1035	-1.2285	-0.7890

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

Линейная регрессия

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для данного набора значений независимой переменной и зависимой переменной , построив точки на плоскости, выдвинуть гипотезу о порядке линейной модели.

3. Методом наименьших квадратов найти оценки неизвестных параметров и

построить полученную линию регрессии.

4. Построить доверительные интервалы для оценок неизвестных параметров

для доверительной вероятности . Проверить гипотезу .

5. Построить доверительные интервалы для предсказанных значений для доверительной вероятности и показать их на графике.

6. Проверить построенную модель на адекватность.

7. Составить отчет, в котором привести графики, результаты счета, выводы.

8. Ответить устно на контрольные вопросы.

 

Построение линии регрессии

Связь зависимой переменной с одной или несколькими независимыми пере-

менными представляют в виде уравнения регрессии .

Построение уравнения регрессии предполагает решение двух задач:

а) выбор независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, и определение вида уравнения регрессии;

б) оценивание параметров (коэффициентов) уравнения.

Пусть для одной независимой переменной по расположению точек на плоскости выдвинута гипотеза о линейной зависимости между переменными , т. е. - исход -ого опыта, можно представить в виде:

, (1)

 

где - число опытов, - случайные добавки, при учете которых любой индивидуальный получает возможность не попасть на линию регрессии, - неизвестные параметры. Предполагается, что распределены нормально с параметрами и независимы. Начнем с предположения, что модель установлена, но на последующих стадиях будем проверять, так ли это на самом деле. Модель (1) линейна относительно неизвестных параметров, относительно неизвестной функции модель (1) первого порядка.

В соответствии с методом наименьших квадратов оценки параметров находятся из условия обращения в минимум величины

(2)

Дифференцируя равенство (2) по и приравнивая полученные частные производные нулю, для нахождения оценок получим так называемую нормальную систему:

(3)

Решив систему (3), найдем оценки неизвестных параметров :

 

(4)

Замечание. Для линейной модели второго порядка

,

нормальная система для нахождения оценок неизвестных параметров будет иметь вид

(5)

Если ввести следующие обозначения

то система (5) может быть записана в виде

. (6)

Для модели , , где - значение –й независимой переменной , в -м опыте, нормальная система также будет иметь вид (6), если

 

.