Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

. Отличие выборок от генеральной совокупности состоит не только в разных объемах, или в реальности первых и сюрреалистичности вторых. Дело в том, что в отдельной выборке в полной мере не могут проявиться все факторы, действующие в генеральной совокупности. Если доминирующий фактор действует на каждую варианту строго одинаковым образом, то случайные факторы сказываются на значениях вариант по-разному: на одну варианту сильно ("большая прибавка значения"), на другую – слабо ("малая прибавка"), на одну сильно повлияет много случайных факторов, на другую – мало и т. д. В результате такого влияния варианты, оставаясь в целом единообразными (влияние доминирующих причин), все же будут отличаться друг от друга (влияние случайных причин). При подсчете средней арифметической разнонаправленные случайные воздействия в целом нейтрализуют друг друга, но до конца – никогда. Все равно в разных выборках какие-то случайные факторы будут выражены сильнее, чем остальные.

Оценка параметров генеральной совокупности по её выборке.

Предположим, что генеральная совокупность является нормальным распределением. Нормальное распределение полностью определено математическим ожиданием (средним значением) и средним квадратическим отклонением. Поэтому если по выборке можно оценить, т.е. приближенно найти, эти параметры, то будет решена одна из задач математической статистики — определение параметров большого массива по исследованию его части,

Как и для выборки для генеральной совокупности, можно определить генеральную среднюю Xr — среднее арифметическое значение всех величин, составляющих эту совокупность. Учитывая большой объем этой совокупности, можно полагать, что генеральная средняя равна математическому ожиданию:

где X — общая запись случайной величины генеральной совокупности; р — сокращенная запись математического ожидания.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной совокупности от их генеральной средней оценивают генеральной дисперсией

Однако для дисперсий положение получается несколько иным. Математическое ожидание дисперсий различных выборок, составленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии:

Поэтому для оценки генеральной дисперсии вводят исправленную выборочную дисперсию: При большом n получаем:

 

 

Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

 

где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа, при котором

23. Распределение Стьюдента.
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Пусть — независимыестандартные нормальныеслучайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

· Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то .

Моменты

Случайная величина имеет только моменты порядков , причём

, если нечётно;

, если чётно.

В частности,

,

, если .

Моменты порядков не определены.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.