Точкові статистичні оцінки параметрів розподілу генеральної сукупності

Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки наближається до оцінювального параметра θ, а саме: Точкові статистичні оцінки є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки. Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною. Різниця між статистичною оцінкою та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме: (04) де δ є точністю оцінки. Оскільки є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (04) справджуватиметься з певною ймовірністю. Імовірність, з якою береться нерівність (04), тобто , (05) називають надійністю. Рівність (05) можна записати так: . Інтервал ,

що покриває оцінюваний параметр θ ге­неральної сукупності з заданою надійністю g, називають довірчим.

Інтервальні оцінки параметрів розподілу. Надійна ймовірність і надійний інтеграл

Статистична оцінка яка визначається одним числом, точкою, називається точковою. Беручи до уваги, що є випадковою величиною, точкова статистична оцінка може бути зміщеною і незміщеною: коли математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру θ, а саме: (1) то називається незміщеною; в противному разі, тобто коли точкова статистична оцінка називається зміщеною відносно параметра генеральної сукупності θ. Різниця (3) називається зміщенням статистичної оцінки Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених статистичних оцінок Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію. Отже, оцінка буде незміщеною й ефективною.

Надійний інтервал для MX і DX нормального розподілу. Визначення мінімального обсягу вибірки.

У разі коли озн. Х маж нормальний закон розподілу, для побудови довірчого інтервалу із заданою надійністю для D, σ застосовується вв

 

, що має розподіл х2 із К=n-1 ступенями свободи оскільки випадкові події А(х₁² < x² < x²₂) В(1/х₁² < 1/x² < 1/x²₂) є рівномірними, маємо: Р(х₁² < x² < x²₂) = Р(1/х₁² < 1/x² < 1/x²₂)

Підставимо , маємо:

 

Отже надійний інтервал:

Тоді для σ буде:

 

Значення х1, х2 з таблиць за рівностями: Р(х^2>x1^2)=1-a/2 P(x^2>x2^2)=a/2, a=1-γ

 

 

Поняття статистичної гіпотези і статистичного критерію. Помилки першого і другого роду

Нульова та альтернативна статистичні гіпотези Гіпотезу, що підлягає перевірці, називають основною. Оскільки ця гіпотеза припускає відсутність систематичних розбіжностей (нульові розбіжності) між невідомим параметром генеральної сукупності і величиною, що одержана внаслідок обробки вибірки, то її називають нульовою гіпотезою і позначають Н ₀. Зміст нульової гіпотези записується так: ; ; . Кожній нульовій гіпотезі можна протиставити кілька альтернативних (конкуруючих) гіпотез, які позначають символом Н _a, що заперечують твердження нульової. Так, наприклад, нульова гіпотеза стверджує: , а альтернативна гіпотеза — , тобто заперечує твердження нульової.

53) Статистичний критерій Для перевірки правильності висунутої статистичної гіпотези вибирають так званий статистичний критерій, керуючись яким відхиляють або не відхиляють нульову гіпотезу. Статистичний критерій, котрий умовно позначають через K, є випадковою величиною, закон розподілу ймовірностей якої нам заздалегідь відомий. Так, наприклад, для перевірки правильності як статистичний критерій K можна взяти випадкову величину, яку позначають через K = Z, що дорівнює і яка має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей. При великих обсягах вибірки (n > 30) закони розподілу статистич­них критеріїв наближатимуться до нормального. Спостережуване значення критерію, який позначають через K ^*, обчислюють за результатом вибірки.

Загальна схема перевірки статистичних гіпотез. Перевірка достовірності гіпотез про частку ознаки генеральної сукупності, про рівність частот ознаки двох вибірок, про значення генеральної середньої, про рівність двох генеральних середніх і дисперсій

Перевірка правельності нульової гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності Для перевірки правильності Н ₀ задається так званий рівень значущості a.

a — це мала ймовірність, якою наперед задаються. Вона може набувати значення a = 0,005; 0,01; 0,001. В основу перевірки Н ₀ покладено принцип , тобто ймовірність того, що статистичний критерій потрапляє в критичну область , дорівнює малій імовірності a. Якщо ж виявиться, що а ця подія малоймовірна і все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу. Пропонується такий алгоритм перевірки правильності Н ₀:

1. Сформулювати Н ₀ й одночасно альтернативну гіпотезу Н _a.

2. Вибрати статистичний критерій, який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі.

3. Залежно від змісту нульової та альтернативної гіпотез будується правобічна, лівобічна або двобічна критична область, а саме: нехай , тоді, якщо

, то вибирається правобічна критична область, якщо

, то вибирається лівобічна критична область і коли

, то вибирається двобічна критична область.

4. Для побудови критичної області (лівобічної, правобічної чи двобічної) необхідно знайти критичні точки. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості a знаходяться критичні точки.

5. За результатами вибірки обчислюється спостережуване значення критерію .

6. Відхиляють чи приймають нульову гіпотезу на підставі таких міркувань: у разі, коли , а це є малоймовірною випадковою подією, і, незважаючи на це, вона відбулася, то в цьому разі Н ₀ відхиляється: для лівобічної критичної області ; для правобічної критичної області

для двобічної критичної області

або , ураховуючи ту обставину, що критичні точки і симетрич­но розташовані відносно нуля.