Теоремадодавання ймовірностей двох несумісних подій

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними

Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

P(A/B)=0, якщо =

1. P(A/B)=1, якщо =B

2. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

Теорема множення ймовірностей двох незалежних подій. Наслідок

Ймовірність появи хоча б однієї події

Теорема множення ймовірностей двох залежних подій. Наслідок

Теорема додавання ймовірностей двох сумісних подій

Формула повної ймовірності

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

Формула Баєса

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Формула Бернуллі

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р (А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

Локальна теорема Лапласа

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р (А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

Інтегральна теорема Лапласа

Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

—функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Найвірогідніше число появи події в n-випробуваннях

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р (А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

Випадкові величини. Дискретні та неперервні випадкові величини

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Функція розподілу Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Цю функцію можна тлумачити так:унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення,меншого за х. Для дискретних величин

Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва,

Для довільних