Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты

 

А. Дискретное распределение. Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено п испытаний, в которых величина X приняла n ₁раз значение х ₁, n ₂ раз значение x ₂,.... n_k раз значение x_k, причем .

Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты n_i.

Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина X распределена по некоторому определенному закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т. е. находят теоретически частоту n_i' каждого из наблюдаемых значений в предположении, что величина X распределена по предполагаемому закону.

Выравнивающими (теоретическими)в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот называют частоты n_i' найденные теоретически (вычислением). Выравнивающие частоты находят с помощью равенства

n_i' = nP_i,

где n — число испытаний; Р_i — вероятность наблюдаемого значения х_i, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.

Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения x_i дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.

Пример. В результате эксперимента, состоящего из n = 520 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число х_i появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение:

набл. значения.. x_i 0 1 2 34567

эмп. частота. n_i 120 167 130 69 27 5 1 1

Найти выравнивающие частоты n_i' в предположении, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена по закону Пуассона.

Решение. Известно, что параметр λ, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю (см. гл. XVI, § 5), то и в качестве оценки λможно принять выборочную среднюю . Легко найти по условию, что выборочная средняя равна 1,5, следовательно, можно принять λ =1,5.

Таким образом, формула Пуассона

принимает вид

Пользуясь этой формулой, найдем вероятности Р ₅₂₀(К)при k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (для простоты записи индекс 520 далее опущен): Р (0) = 0,22313, Р (1) = 0,33469, Р (2) = 0,251 021, Р (3) = 0,125511, Р (4) = 0,047066, Р (5) = 0,014120, Р (6) = 0,003530, P (7) =0,000755. Найдем выравнивающие частоты (результаты умножения округлены до единицы):

n ₁ ' = n Р(0) = 520-0,22313 =116,

n ₂ ' = nP (1) = 520-0,33469= 174.

Аналогично находят и остальные выравнивающие частоты. В итоге получим:

эмп. частота.. 123 167 130 69 27 5 1 1

выр. частота.. 116 174 131 65 25 7 2 0

Сравнительно небольшое расхождение эмпирических и выравнивающих частот подтверждает предположение, что рассматриваемое распределение подчинено закону Пуассона.

Заметим, что если подсчитать выборочную дисперсию по данному распределению, то окажется, что она равна выборочной средней, т.е. 1,5. Это служит еще одним подтверждением сделанного предположения, поскольку для распределения Пуассона λ = М (X) = D (X)

Сравнения эмпирических и теоретических частот сна глаз», конечно, недостаточно. Чтобы сделать это более обоснованно, надо использовать, например, критерий Пирсона (см. гл. XIX, § 23). Проверка гипотезы о распределении случайной величины по закону Пуассона изложена в книге: Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., «Высшая школа», 1972 (см. гл. XIII, § 17).

Б. Непрерывное распределение. В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю (см. гл, X, § 2, следствие 2). Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности P_i попадания X в i -й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.

Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по равенству

n_i'=nP_i,

где п — число испытаний; Р_i — вероятность попадания X в i -й частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.

В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле

, (*)

где п — число испытаний (объем выборки), h — длина частичного интервала, σ_в — выборочное среднее квадрати-ческое отклонение, (x_i — середина i -гo частичного интервала),

.

Пример на применение формулы (*) приведен в § 7.

Пояснение. Поясним происхождение формулы (*). Напишем плотность общего нормального распределения:

. (**)

При а = 0 и σ = 1 получим плотность нормированного распределения:

или, изменив обозначение аргумента,

Положив и = (х - а) /σ, имеем

(***)

Сравнивая (**) и (***), заключаем, что

.

Если математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σ_в (см. гл. XVI, § 5,9). Тогда

,

где .

Пусть x_i- середина i -гo интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины X)длиной h. Тогда вероятность попадания X в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности распределения f (x)в любой точке интервала и, в частности, при х=x_i (см. гл. XI, § 5):

.

Следовательно, выравнивающая частота

,

где .Мы получили формулу (*).