Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантам (при этом величина r_в не изменится)

u_i=(x_i—С₁)/h₁ и υ_j=^:(y_j—С₂)/h₂.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле

 

.

 

Величины u, υ и можно найти методом произведений (см. гл. XVII, § 4), а при малом числе данных— непосредственно исходя из определений этих величин. Остается указать способ вычисления , где — частота пары условных вариант (u, υ).

Можно доказать, что справедливы формулы (см. пояснение в конце параграфа):

 

, где ,

, где .

 

Для контроля целесообразно выполнить расчеты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.

Покажем на примере, как пользоваться приведенными формулами.

Пример 1. Вычислить ^ "по"" ^П0 данным корреляционной табл. 14.

 

 

Таблица 14

Y	X	ny
			—	—	—	—
	—			—	—	—
	—	—				—
	—	—
	—	—	—
nx							n=200

 

Решение. Перейдем к условным вариантам: u_i=(x_i—С₁)/h₁ = = (x_i —40)/10 (в качестве ложного нуля С₁ взята варианта х=40. расположенная примерно в середине вариационного ряда; шаг h₁ равен разности между двумя соседними вариантами: 20—10 = 10) и υ_j=^:(y_j—С₂)/h₂ = (y_j —35)/10 (в качестве ложного нуля С₂ взята варианта у =35, расположенная в середине вариационного ряда; шаг h₂ равен разности между двумя соседними вариантами: 25—15=10).

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах. Практически это делают так: в первом столбце вместо ложного нуля С₂ (варианты 35) пишут 0; над нулем последовательно записывают —1, —2; под нулем пишут 1, 2. В первой строке вместо ложного нуля С₁ (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают —1, —2, —3; справа от нуля пишут 1, 2. Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной таблицы. В итоге получим корреляционную табл. 15 в условных вариантах.

 

Таблица 15

υ			u	nυ
-3	-2	- 1
—2			—	—	—	—
—1	—			—	—	—
	—	—				—
	—	—
	—	—	—
nu							n = 200

 

Теперь для вычисления искомой суммы составим расчетную табл. 16. Пояснения к составлению табл. 16:

1. В каждой клетке, в которой частота n_uυ ≠ 0, записывают в правом верхнем углу произведение частоты n_uυ на варианту u. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 5·(—3) = —15; 7·(—2) = —14.

2. Складывают все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки и их сумму записывают в клетку этой же строки столбца u. Например, для первой строки U == —15+(—14)= —29.

3. Умножают варианту υ на U и полученное произведение заци-сывают в последнюю клетку той же строки, т. е. в клетку столбца υU. Например, в первой строке таблицы υ = —2, U = —29; следовательно, υU = (—2)·(—29) = 58.

4. Наконец, сложив все числа столбца υU, получают сумму , которая равна искомой сумме . Например, для табл. 16 имеем = 169; следовательно, искомая сумма = 169.

 

 

Таблица 16

υ	u   ч	U= =	υU
-3	-2	—1
-2	—15 -10	-14 -14	—	—	—	—	—29
-1	—	—40 -20	—23 —23	—	—	—	-63
	—	—	-30			—	—28
	—	—	—10
	—	—	—
V= =	—10	-34	—13					= =169
uV						"	==169	Контроль

 

 

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам:

произведения n_uυυ записывают в левый нижний угол клетки, содержащей частоту n_uυυ ≠ 0; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму записывают в строку V; далее умножают каждую варианту u на V и результат записывают в клетках последней строки.

Наконец, сложив все числа последней строки, получают сумму , которая также равна искомой сумме . Например, для табл. 16 имеем = 169; следовательно, = 169.

Теперь, когда мы научились вычислять , приведем пример на отыскание выборочного коэффициента корреляции.

Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии

Теперь, когда известно, как вычисляют r_в, уместно привести пример на отыскание уравнения прямой линии регрессии.

Поскольку при нахождении r_в уже вычислены , , , , то целесообразно пользоваться формулами:

 

=h₁ , =h₂ , = h₁+c₁, = h₂+c₂.

 

Здесь сохранены обозначения предыдущего параграфа. Рекомендуем читателю самостоятельно вывести эти формулы.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным корреляционной табл. 14 примера предыдущего параграфа.

Решение. Напишем искомое уравнение в общем виде:

 

(*)

 

Коэффициент корреляции уже вычислен в предыдущем параграфе. Остается найти , , и :

= h₁+c₁ = —0,425·10+40==35,75; = h₂+c₂ = 0,09·10+35=35,9;

=h₁ == 1,106·10 = 1,106, =h₂ = 1,209·10=12,09. Подставив найденные величины в (*), получим искомое уравнение

 

,

или окончательно

 

= 0,659x + 12,34.

 

Сравним условные средние, вычисленные: а) по этому уравнению; б) по данным корреляционной табл. 14. Например, при х =30:

а) ==0,659·30+12,34 = 32,11;

б) = (23·25+30·35+10·45)/63 = 32,94.

Как видим, согласование расчетного и наблюдаемого условных средних—удовлетворительное.

Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи

Выше рассматривалась оценка тесноты линейной корреляционной связи. Как оценить тесноту любой корреляционной связи?

Пусть данные наблюдений над количественными признаками Х и Y сведены в корреляционную таблицу. Можно считать, что тем самым наблюдаемые значения Y разбиты на группы; каждая группа содержит те значения Y, которые соответствуют определенному значению X. Например, дана корреляционная табл. 17.

К первой группе относятся те 10 значений Y (4 раза наблюдалось y₁=3 и 6 раз y₂ = 5), которые соответствуют x₁=8.

Ко второй группе относятся те 20 значений Y (13 раз наблюдалось у₁ = 3 и 7 раз y₂ = 5), которые соответствуют x₂ = 9.

Таблица 17

Y	X
nx
	4,2	3.7

Условные средние теперь можно назвать групповыми средними: групповая средняя первой группы = (4·3+6·5)/10==4,2; групповая средняя второй группы =(13·3+7·5)/20=3,7.

Поскольку все значения признака Y разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсий (см. гл. XVI, § 12):

D_общ = D_внгр + D_межгр. (*)

Покажем справедливость следующих утверждений:

1) если Y связан с Х функциональной зависимостью, то

D_межгр/D_общ = 1;

2) если Y связан с X корреляционной зависимостью,

D_межгр/D_общ < 1.

 

Доказательство. 1) Если Y связан с Х функциональной зависимостью, то определенному значению Х соответствует одно значение Y. В этом случае в каждой группе содержатся равные между собой значения Y поэтому групповая дисперсия каждой группы равна нулю. Следовательно, средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объемам групп), т. е. внутригрупповая дисперсия D_внгр = 0 и равенство (*), имеет вид

 

D_общ = D_межгр.

Отсюда

D_межгр /D_общ= 1.

 

2) Если Y связан с Х корреляционной зависимостью, то определенному значению Х соответствуют, вообще говоря, различные значения Y (образующие группу). В этом случае групповая дисперсия каждой группы отлична от нуля. Следовательно, средняя арифметическая групповых дисперсий (взвешенная по объемам групп) D_внгр ≠ 0. Тогда одно положительное слагаемое D_межгр меньше суммы двух положительных слагаемых D_внгр + D_межгр = D_общ.

 

D_межгр < D_общ

Отсюда

D_межгр /D_общ< 1

Уже из приведенных рассуждений видно, что чем связь между признаками ближе к функциональной, тем меньше D_внгр и, следовательно, тем больше приближается D_межгр к D_общ, а значит, отношение D_межгр /D_общ — к единице. Отсюда ясно, что целесообразно рассматривать в качестве меры тесноты корреляционной зависимости отношение межгрупповой дисперсии к общей, или, что то же, отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению.