Метод монте-карло. Цепи Маркова

Глава двадцать первая. Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло

§ 1. Предмет метода Монте-Карло

§ 2. Оценка погрешности метода Монте-Карло

§ 3. Случайные числа

§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины

§ 5. Разыгрывание противоположных событий

§ 6. Разыгрывание полной группы событий

§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций

§ 8. Метод суперпозиции

§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Задачи

 

Глава двадцать вторая. Первоначальные сведения о цепях Маркова

§ 1. Цепь Маркова

§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода

§ 3. Равенство Маркова

Задачи

 

ЧАСТЬ ПЯТАЯ

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава двадцать третья. Случайные функции

§ 1. Основные задачи

§ 2. Определение случайной функции

§ 3. Корреляционная теория случайных функций

§ 4. Математическое ожидание случайной функции

§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции

§ 6. Дисперсия случайной функции

§ 7. Свойства дисперсии случайной функции

§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции

§ 9. Корреляционная функция случайной функции

§ 10. свойства корреляционной функции

§ 11. Нормированная корреляционная функция

§ 12. Взаимная корреляционная функция

§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции

§ 14. Нормированная взаимная корреляционная функция

§ 15. Характеристики суммы случайных функций

§ 16. Производная случайной функции и её характеристики

§ 17. Интеграл от случайной функции его характеристики

§ 18. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики

§ 19. Комплексные случайные функции и их характеристики

Задачи

 

Глава двадцать четвертая. Стационарные случайные функции

§ 1. Определение стационарной случайной функции

§ 2. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции

§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции

§ 4. Стационарно связанные случайные функции

§ 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной функции

§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и её производной

§ 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

§ 8. Определение характеристик эргодических стационарных случайных функций из опыта

Задачи

 

Глава двадцать пятая. Элементы спектральной теории стационарных случайных функций

§ 1. Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами

§ 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции

§ 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная плотность

§ 4. Нормированная спектральная плотность

§ 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций

§ 6. Дельта-функция

§ 7. Стационарный белый шум

§ 8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Задачи

Дополнение

Приложения

Предметный указатель

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб»- случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет,- она просто не силах это сделать.

По- иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно, наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточное большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства. При анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI-XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накоплением ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именем П.Л.Чебышева (1821-1894) и его учеников А.А.Маркова (1856-1922) и А.М.Ляпунова (1857-1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Её последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

 

 

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава первая

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Испытания и события

Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результата испытания.

Пример1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел- это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие.

Пример2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

 

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.

Пример2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример3. Приобретены два билета денежно – вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияние на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияние на выпадение любой грани.