Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания.

Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [ а, b ]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной , ,..., и выберем в каждом из них произвольную точку x_i (i = 1, 2,..., п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений x_i на вероятности попадания их в интервал ; (напомним, что произведение f (х) приближенно равно вероятности попадания X в интервал ):

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [ a,b ], называют определенный интеграл

M (X) = (*)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

M (X) =

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к — , а верхнего—к + .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку[ a,b ], то

D (X) =

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

D (X) =

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

s(X) = .

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D (X) = (**)

D (X) =

Пример 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

Решение. Найдем плотность распределения:

 

Найдем математическое ожидание по формуле (*):

M (X) =

Найдем дисперсию по формуле (**):

D (X) =

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b).

Решение. Найдем математическое ожидание X по формуле (*), учитывая, что плотность равномерного распределения f (x) = 1 / (b — а)(см. гл. XI, § 6):

M (X) =

Выполнив элементарные выкладки, получим

M (X) = (a+b) / 2

Найдем дисперсию X по формуле (**):

D (X) =

Выполнив элементарные выкладки, получим

D (X) = (b — a)² / 12.

Замечание 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1), т. е. если a = 0, b =1, как следует из примера 2, соответственно равны М (R) = 1/2, D(R)=l/12. Этот же результат мы получили в примере 1 по заданной функции распределения случайной величины R.

 

Нормальное распределение

 

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а иs. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s—среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

M (X) =

Введем новую переменную z = (x — а) / s. Отсюда x= s z+a, dx= s dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

M (X) =

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a (интеграл Пуассона ).

Итак, М (Х) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (Х) = а, имеем

D (X) =

Введем новую переменную z = (x — а) / s. Отсюда х — a = s z, dx = s0 dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

D (X) =

Интегрируя по частям, положив u = z, dv= , найдем

D (X) = s².

Следовательно,

s(X) = .

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру s.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и s (s > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и s=1. Например, если X — нормальная величина с параметрами а и s, то U = (X — а) / s— нормированная нормальная величина, причем M (U) = 0, s(U) = 1.

Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована (см. приложение 1).

Замечание 2. Функция F (х)общего нормального распределения (см. гл. XI, § 3)

а функция нормированного распределения

 

Функция F_o (x) табулирована. Легко проверить, что

F (x) =F ₀((x-a) / s).

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х)можно найти, пользуясь функцией Лапласа Действительно (см.гл. XI, § 2),

P (0 <X<x) =

Замечание 4. Учитывая, что (см. гл. XI, §4,свойство 2), и, следовательно, в силу симметрии j(х)относительно нуля

, а значит, и Р (- < X < 0)=0,5,

легко получить, что

F ₀(x) = 0, 5 + (x).

Действительно,

F ₀(x) =P (- <X<x) =P (- <X< 0) +P (0 <X<x) = 0, 5 + (x).

Нормальная кривая

 

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

y=

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: , т. е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4.Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

Легко видеть, что у' = 0 при х = а, у' > 0 при х < а, у' < 0 при х> а.

Следовательно, при х = а функция имеет максимум, равный

5.Разность х — а содержится в аналитическом выражении функции в

квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х= а.

6.Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

Легко видеть, что при х = а+s и х= а — s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки онаменяет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1 / ( e)). Таким образом, точки графика (а — s, 1 / ( e)) и (а + s, 1 / ( e))являются точками перегиба.

На рис. 7 изображена нормальная кривая при а =1, s= 2