Числовые характеристики случайной величины

Задание закона распределения аналитически - с помощью функций F(x) или f(x) позволяет полностью и однозначно описать случайную величину. Но во многих случаях в этом либо нет необходимости, либо закон распределения бывает неизвестен. Тогда ограничиваются меньшими сведениями, а именно некоторыми ха­рактерными неслучайными числами, каждое из которых характеризует то или иное свойство распределения случайной величины.

Такие числа, позволяющие отразить наиболее существенные особен-ности распределения случайной величины, называются числовыми харак-теристиками случайной величины. Важнейшими из них являются мате-матическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствуюшие им вероятности

.

M(X) называют еще центром распределения или характеристикой положения случайной величины на числовой оси. Это среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения случайной величины.

Для непрерывной случайной величины

Если возможные значения непрерывной случайной величины то

Свойства М (Х)

1. М(С) = С, где С = const.

2. М(СХ) = С М(Х).

3.

4. Для независимых случайных величин X,Y

Дисперсия - это характеристика рассеивания (разбросанности) возможных значений случайной величины относительно ее среднего зна-чения. Она определяется как математическое ожидание квадра­та отклоне-ния случайной величины от ее математического ожидания

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D(X) = M(X²) – M² (X).

Для дискретных случайных величин ,

для непрерывных случайных величин

Если возможные значения X принадлежат интервалу то

Свойства D(X)

1. D(C) = 0, так как постоянная величина C рассеивания не имеет.

2. D(CX) = C² D(X), то есть постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. - для независимых случайных вели­чин.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случай­ной величины X, что неудобно. Поэтому на практике часто применя­ют числовую характеристику , размерность которой совпадает с размерностью X. Величина называется средним квадратиче-ским отклонением.

Пример. Производится одно испытание. Вероятность появления со-бытия A в этом испытании равна p. Найти математическое ожидание и дис-персию числа появлений события A.

Решение. Число появлений события A при одном испытании X – дис-кретная случайная величина, ряд распределения которой имеет вид

X	0	1
P	q	P

Поэтому

Пример. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения:

X	-2					Y	-1
P	0,1	0,3	0,2	…	P	0,3	0,4	0,2	…

Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины .

Решение. По свойствам дисперсии

Так как сумма вероятностей возможных значений случайной ве­ли-чины равна единице, то

По определению дисперсии

Составим ряды распределения случайных величин

X^2	4	1	9	25
P	0,1	0,3	0,2	0,4

 

 

	1	4	16			1	16	256
P	0,7	0,2	0,1	P	0,7	0,2	0,1

 

Поэтому

Следовательно,

Пример. Случайная величина X задана рядом распределения

X	-2	1	2	3
P	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти дисперсию случайной величины Z = 3X² - 2X + 1.

Решение. Так как случайные величины X и X² не являются неза­висимыми, то составляем ряд распределения случайной величины Z:

 

Z	17	2	9	22
P	0,2	0,3	0,4	0,1

Поэтому ряд распределения Z² будет иметь вид

Z^2	289	4	81	484
P	0,2	0,3	0,4	0,1

В результате получим

Кроме основных характеристик распределения – центра (мате­ма­тического ожидания) и рассеивания (дисперсии) на практике часто нужно описать и другие важные числовые характеристики распределения. Наиболее употребительные из них: мода, медиана, коэффициенты асим­метрии, эксцесса.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее веро­ятное значение, модой непрерывной случайной величины - то ее зна­чение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого

В случае симметричного распределения медиана, математическое ожи­дание и мода совпадают.

Для характеристики асимметрии (или “скошенности”) распределения используется величина “ коэффициента асимметрии ’

где - третий центральный момент.

В общем случае в теории вероятностей центральным моментом k –го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k –ой степени так называемой центрированной случайной величины

Поэтому третий центральный момент равен

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины

Если распределение симметрично относительно среднего значения, то

“ Крутовершинность ” (или островершинность, плосковершинность) распределения характеризуется величиной эксцесса

где - четвертый центральный момент [3]. Для наиболее распро­стра­ненного нормального закона распределения (см. ниже), который является как бы эталоном, с которым сравнивают другие распределения,