Свойства коэффициента корреляции

1. Если между величинами X и Y существует линейная функциональная связь

то .

Действительно,

Но а

Cледовательно, и

Равенство является необходимым и достаточным условием ли-нейной функциональной связи между величинами Х и У.

2. Чем больше угол между линиями регрессии У на Х и Х на У, тем меньше Это наглядно иллюстрируется рисунком.

Очевидно, следовательно,

.

Итак, с уменьшением увеличивается

При и линии регрессии совпадают между собой и с прямой линейной функциональной зависимости.

3. При отсутствует линейная корреляционная зависимость между X и Y. Отметим, что при этом может существовать нелинейная связь между X и Y (корреляционная или функциональная).

4. Если коэффициент корреляции определен по выборке объема n из неограниченной генеральной совокупности, то можно считать коэффициент корреляции генеральной совокупности приближенно равным . При этом средняя квадратичная ошибка будет равна

При достаточно большом n (практически при ) для оценки коэф­фициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности можно пользоваться формулой

10.6. Методика вычисления и построения линии регрессии

Методику вычислений рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Результаты измерений угловых колебаний ведущего моста автомобиля X и угловых колебаний подрессоренной массы (галопирование) Y сведены в корреляционную таблицу 14. Найти уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на X, установить тесноту связи между признаками. Для каждого интервала значений X вычислить фактические значения условных средних и их значения по уравнению регрессии.

Расчет может быть значительно упрощен, если перейти от величин X и Y к условным вариантам по формулам

Легко убедиться в том, что при этом

Поэтому выборочный коэффициент корреляции в новых обозначениях не меняется по величине и будет равен

Трудоемкость расчета связана с вычислением Для составления корреляционной таблицы в условных вариантах добавим к исходной корреляционной таблице (поле которой выделено толстыми линиями) дополнительные строки и столбцы

В качестве ложного нуля для X примем находящуюся примерно в середине вариационного ряда для X величину аналогично принимаем Шаг равен разности между двумя

со­седними вариантами: Легко показать, что суммы элементов нижней строки и правого столбца равны между собой:

целесообразно вычислять по обеим формулам. Их совпадение должно свидетельствовать о правильности вычислений.

 

 

Таблица 14

 

		u	-4	-3	-2	-1
V			(-12)-(-6)	(-6)-0	0-6	6-12	12-18	18-24	24-30	30-36
-9	-3
-4	-12 – (-6,4)	-9,2											-16
-3	-6,4 – (-0,8)	-3,6											-15
-2	-0,8 – 4,8	2,0											-14
-1	4,8 – 10,4	7,6										-4
	10,4 – 16,0	13,2										-6
	16,0 – 21,6	18,8										-12	-12
	21,6 – 27,2	24,4										-21	-42
	27,2 – 32,8	30,0										-10	-30
							-4	-23	-5	-1
			-28	-18	-22	-21		-23	-10	-3			-125

 

 

Величины при большом числе наблюдений подсчитываются методом произведений, а при сравнительно малом числе наблюдений - непосредственно, исходя из определения этих величин по формулам:

аналогично

Искомый коэффициент корреляции равен

Возвращаясь к старым переменным, получим

Приближенное (теоретическое) уравнение линейной регрессии примет вид

или окончательно

(10.12)

Фактические значения условных средних, вычисленные по данным корреляционной таблицы, равны:

Аналогично

Эти значения, а также условные средние, найденные по уравнению регрессии (10.12) при приведены ниже в таблице 15:

Таблица 15

	-9	-3
По данным корреляционной таблицы		18,80	17,6	18,55	13,62	8,60	7,60	11,33
По уравнению регрессии	23,45	20,81	18,17	15,53	12,89	10,25	7,61	4,97

Как видно из таблицы, согласование фактически наблюдавшихся и расчетных условных средних удовлетворительное.

Эмпирическая и приближенная (теоретическая) линии регрессии Y на X показаны на рисунке.

Р А С Ч Е Т Н О – Г Р А Ф И Ч Е С К А Я Р А Б О Т А

П О Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

ВАРИАНТ 1

1. В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров. Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует его внимания, равна 0,2; второй - 0,25, третий - 0,3. Найти вероятность того, что в тече­ние смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка; все три станка.

3. Вероятности безотказной работы элементов электрической цепи равны соответственно Найти вероятность отказа цепи.

4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго - 0,02 и для третьего - 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше, чем у второго. Какова ве­роятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажет­ся годной?

5. Вероятность надежной работы конструкции при приложении рас­четной нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше двух выйдут из строя.

6. Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Най­ти вероятность того, что по истечении заданного времени будут работать 800 элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.

7. В бригаде 8 рабочих, из них 5 учатся. Наудачу по списку ото­браны 3 человека. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа рабочих, которые учатся, среди рабочих.

8. Случайная величина X задана рядом распределения

 

X	-1	0,7	1,5
P	0,2	0,4	0,1	…

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

.

9. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.

10. Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D (X) и ве-

­роятность P(a<X<1,5a).

11. Диаметр детали - нормально распределенная случайная величина с параметрами: мм, мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 74 мм до 76,4 мм; отличается от " " не более, чем на 1,4 мм. Какое отклонение диаметра от " " можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключе­ны диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 2

1. В партии из 7 деталей 5 стандартных. Наудачу отобра­ны 3 детали. Какова вероятность того, что среди них 2 дета­ли стандартны?

2. В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Ве­роятности получить нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соот­ветственно равны 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность того, что сту­дент получит книгу у одного из товарищей.

3. Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов электрической цепи 0,95. Найти вероятность работы цепи.

4. Часы изготавливаютcя на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всей продукции, второй - 35%, третий - 25%. Из продукции первого завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?

5. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении рас­четной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из вось­ми конструкций, испы­танных независимо друг от друга, не ме­нее шести выдержат нагрузку?

6. Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.

7. Устройство состоит из четырех независимо работающих элемен­тов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте рав­на 0,2. Соста­вить закон распределения случайной величины Х - числа работающих элементов в одном опыте.

8. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Найти дисперсию случайной величины .

Х	0,4	0,6	1,25			Y	0,5	1,5
Р	0,25	0,15	0,2	…	P	0,4	0,1	…

9. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изде­лия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что бу­дет повреждено не более трех изделий.

10. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент "с ", интегральную функцию распределения F(x),

M (X), D(X) и вероятность P(1,5<X<2).

11. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, ко­торая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 116,5 мм и не более 123,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали мень­ше 117,2 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с веро­ятностью 0,99?

ВАРИАНТ 3

1. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность то­го, что среди отобранных окажутся три женщины.

2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем или четвертом ящиках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что нужная деталь содержится не менее чем в двух ящиках.

3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероят­ность работы каждого элемента равна P=0,9.

4. На автобазе имеется 80 грузовых и 20 легковых автомашин. Ве­ро­ятность того, что грузовая машина неисправна, равна 0,08, а легковая - 0,05. Найти вероятность того, что наудачу по номеру вызванная авто­машина окажется исправной.

5. Произведено 12 независимых выстрелов по цели. Вероятность попа­да­ния при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не менее двух промахов в цель.

6. Событие B появится в том случае, если событие A наступит не менее 150 раз. Найти вероятность появления события B, если произведено 200 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,7.

7. На складе имеются 8 покрышек, из них 3 - изношенных. Наудачу отоб­раны 3 покрышки. Составить закон распределения дискрет­ной случай­ной величины X - числа годных покрышек среди отоб­ранных.

8. Случайная величина X задана рядом распределения. Найти математиче­ское ожидание и дисперсию величины

X	-0,3	0,5
P	0,2	0,2	0,25	…

Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия; менее трех.

9. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент "а", интегральную функцию распределения F(x),

M (X), D(X) и вероятность P(1<X<1,5).

11. Aвтомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, кото­рая распределена по нормальному закону с математическим ожи­данием (проектная длина) 135 мм. Фактическая длина изго­товленных деталей 131< X < 139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклоне­ние длины детали от "а " можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заклю­чены длины изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 4

1. В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.

2. ОТК проверяет изделия на соответствие стандарту. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,8, второе - 0,9, третье - 0,95. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стан­дартно; хотя бы одно стандартно.

3. Электрическая цепь состоит из последовательно и параллельно соеди­ненных элементов, работающих независимо. Вероятности работы каж­дого из элементов равны Найти вероятность работы цепи.

4. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй - 20 ша­ров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по од­ному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти веро­ятность того, что этот шар белый.

5. Вероятность безотказной работы каждого из семи независимо рабо­тающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти веро­ят­ность того, что выйдут из строя не более трех элементов.

6. Испытывается каждый из 120 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание ровно 110 элементов; более 110 элементов.

7. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту кни­га сво­бодна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, кото­рые посетит студент, если в городе 4 биб­лиотеки.

8. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения

X	-2	0,5
P	0,2	0,4	0,1	…

Y -3     P 0,3 0,2 …

 

Найти дисперсию случайной величины .

9. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.

10. Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент " ", интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероят­ность P(0,5<X<1).

11. Диаметр детали - нормально распределенная случайная величина X с параметрами: 70 мм, 1,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 69 мм до 70,9 мм; отличается от " " не более, чем на 1,5 мм. Какое отклонение диаметра от " " можно гарантировать с вероятностью 0,93? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

ВАРИАНТ 5

1. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что 2 детали среди извле­ченных окажутся окрашенными.

2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Веро­ятность того, что одно из трех наудачу взятых изделий окажется высше­го сорта, равна 0,85, другое - 0,95, третье - 0,75. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий не менее двух будут высшего сорта.

3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, изобра­жен­ной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо рабо­таю­щих элементов равна 0,15.

4. Три цеха производят одинаковые детали, которые поступают на общую сборку. Вероятность изготовления стандартной детали в первом цехе - 0,93, во втором - 0,88, в третьем - 0,85. Пер­вый цех имеет три техно­логические линии, второй - две, тре­тий - одну (линии одинаковой про­из­во­дительности). Найти веро­ятность того, что наудачу взятая деталь на сборке окажется нестандартной.

5. Вероятность выхода из строя каждого из 9 независимо работаю­щих элементов некоторого узла в течение времени t равна 0,1. Найти веро­ятность того, что по истечении времени t бу­дут работать не менее 7 элементов.

6. Электрическая цепь состоит из 100 параллельно включенных потребителей. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее 5% от общего числа потребителей; ровно 5% потребителей.

7. В комплекте из 12 изделий имеются 8 изделий первого сорта и 4 вто­рого. Наудачу отобраны 3 изделия. Составить закон распределе­ния дискретной случайной величины Х - числа изделий второго сорта среди отобранных.

8. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию величины

X	-2	0,5
P	0,2	0,4	0,1	…

9. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммута­тор, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение одной мину­ты позвонит хотя бы один абонент; не более одного абонента.

10. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент “ ”, интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероятность P(0<X<π/12).

11. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, ко­торая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) =125 мм. Фактическая длина изго­товленных деталей 122,4< X <127,6 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какое откло­нение длины детали от " " можно гарантировать с вероятностью 0,98?

ВАРИАНТ 6

1. На складе имеются 10 покрышек, из них 2 изношенных. Найти вероят­ность того, что среди взятых наудачу 5 покрышек ока­жутся 4 годных.

2. Неисправность может возникнуть в одном из 4-х блоков уст­ройства. Вероятность возникновения неисправности в первом блоке равна 0,20, во втором - 0,15, в третьем и в четвер­том - 0,10. Найти вероятность появления неисправности только в одном блоке; хотя бы в одном блоке.

3. Найти вероятность работы электрической цепи, изображенной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов равна 0,1.

4. На сборке находятся детали, изготовленные на 3-х конвейерах, причем деталей, изготовленных на первом конвейере вдвое боль­ше, чем изго­тов­ленных на втором конвейере и в 1,5 раза боль­ше, чем изготовленных на третьем. Вероятности того, что де­таль высокого качества, равны 0,8 для первого конвейера, 0,75 - для второго конвейера и 0,7 для третьего. Найти веро­ятность того, что наудачу взятая деталь на сборке будет высо­кого качества.

5. Произведено 10 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле 0,9. Найти вероятность не ме­нее 8 попаданий.

6. Автотранспортное предприятие имеет 180 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого автобуса равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы предприятия в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 160 автобусов, ровно 160 автобусов.

7. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений шестерки при четырех подбрасываниях иг­ральной кости.

8. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распреде­ления

 

Х		2,5				Y	0,8	1,4
Р	0,1	…	0,3	0,2	P	0,3	0,5	…

Найти дисперсию случайной величины .

9. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на комму­татор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение од­ной минуты позвонят менее трех абонентов.

10. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент “ ”, интегральную функцию распределения F(X),

M(X), D(X) и вероятность P(0,5<X<1,5).

11. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х - случайная ве­личина, распределенная по нормальному закону с параметрами 21,0 см, =1,2 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 21,9 см. Какое отклонение длины детали от " " можно га­рантировать с вероятностью 0,90; 0,98? В каких пределах, симмет­рич­ных относительно " ", бу­дут лежать практически все размеры дета­лей?

ВАРИАНТ 7

1. В комплекте 12 деталей 1-го сорта и 6 - второго. Наудачу вынимаются 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся 3 детали первого сорта.

2. В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых на ощупь. Наудачу выни­ма­ются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извле­ченных шаров бу­дет не менее двух красных.

3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, coстоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,98.

4. Комплект состоит из 16 деталей завода № 1, 12 деталей завода № 2 и 22 деталей завода № 3. Вероятности того, что деталь низкого качества соответственно равны 0,08 для первого завода, 0,06 - для второго завода и 0,1 для третьего. Найти ве­роятность того, что наудачу вынутая деталь из комплекта бу­дет высокого качества.

5. Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее двух раз. Найти вероятность появления события В, если произведено шесть независимых испытаний, в каждом из кото­рых вероятность появления события А равна 0,4.

6. Автобаза обслуживает 140 магазинов. От каждого из них заявка на автомашины на следующий день может поступить с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что поступит не менее 110 и не более 120 заявок; ровно 110 заявок.

7. В команде 9 спортсменов, из них 4 - первого разряда и 5 - второго. Наудачу отобраны 3 спортсмена. Найти ряд распреде­ления дискретной случайной величины Х - числа спортсменов второго разряда среди отоб­ран­ных.

8. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения

X	0,8	1,4
P	0,3	0,5	…

Найти и

9. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на комму­татор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение минуты позвонят более двух абонентов.

10. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент “ ”, интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероятность

11. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х - случайная ве­личина, распределенная по нормальному закону с параметрами 23,0 см, = =1,6 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от " " можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симмет­рич­ных относительно " ", бу­дут лежать практически все размеры деталей?

ВАРИАНТ 8

1. В партии 8 изделий первого сорта и 7 второго. Найти вероят­ность того, что среди наудачу выбранных 6 изделий окажутся 3 изделия первого сорта.

2. В урне 7 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. На­удачу извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет не менее трех красных.

3. Найти вероятность работы электрической цепи, изображенной на ри­сун­ке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих эле­мен­тов равна 0,1.

4. В коробке 10 деталей завода № 1, 15 деталей завода № 2 и 25 деталей завода №3. Вероятности того, что деталь высокого качества равны соот­ветственно 0,95 для первого завода, 0,85 для второго и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из коробки будет высокого качества.

5. Испытывается каждый из 12 элементов некоторого устройства. Вероят­ность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наиверо­ятнейшее число элементов, которое выдержит ис­пытание и его вероят­ность; вероятность того, что выдержат испытание более 9 элементов.

6. Две равносильные ЭВМ играют шахматный матч. Что вероятнее: выиграть (ничейный результат исключается) не менее двух партий из четырёх, от 20 до 30 партий из 40 или ровно 20 партий из 40?

7. Написать закон распределения числа появлений герба при четырех под­бра­сы­ваниях монеты.

8. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распреде­ления

Х	-2	0,8	1,5			Y	-1		1,5
Р	0,4	0,15	0,2	…	P	0,2	0,5	…

Найти дисперсию случайной величины .

9. Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно две бракованные книги; не более двух бракованных книг.

10. Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент “ ”, интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероятность P(0<X<π/6).

11. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, ко­торая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) =145 мм. Фактическая длина изго­товленных из­делий 140,5< X <149,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 147,7 мм. Какое от­клонение длины детали от " " можно гарантировать с вероят­ностью 0,94?

ВАРИАНТ 9

1. Cреди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывают­ся 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов ока­жутся 4 девушки?

2. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.

3. Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, со­стоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,95.

4. Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность бра­ка для 1-го завода равна 0,05, для 2-го - 0,10. Первый завод име­ет два конвейера; второй - один конвейер. Детали с заводов поступают на склад. Найти вероят­ность того, что наудачу взятая на складе деталь будет годной.

5. Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных потре­би­те­лей. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины потребителей.

6. Что вероятнее - выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из пяти, не менее 30 партий из 50 или ровно 30 партий из 50?

7. В команде 11 спортсменов, из них 7 первого разряда и 4 вто­рого. Наудачу выбраны 3 спортсмена. Найти ряд распределе­ния дискретной случайной величины X - числа спортсменов пер­вого разряда среди отобранных.

8. Случайная величина X задана рядом распределения

X	-2	1,2	1,5
P	0,2	0,15	0,4	…

Найти и

9. При штамповке металлических клемм получается в среднем 98% годных. Какова вероятность того, что среди 200 клемм будут две; более двух бракованных?

10. Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент " ", интегральную функцию распределения F(x),

M(X), D(X) и вероят­ность P(0<X<2π/3).

11. На станке изготавливается деталь. Ее длина Х - случайная ве­личина, распределенная по нормальному закону с параметрами =22,0 см, = =1,4 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 24,1 см. Какое отклонение длины детали от " " можно гаран­ти­ровать с вероятностью 0,90; 0,95? В каких пределах, симмет­рич­ных относительно " ", бу­дут ле