Случайной называется переменная величина, которая в резуль-тате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно, ка-кое именно.

Случайные величины принято обозначать заглавными латинскими буквами: X, Y, Z,..., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами: x, y, z,...

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если её возможные зна­чения образуют последовательность отдельных, изолированных друг от друга значений, которые можно перечислить, и непрерывной, если её возможные значения непрерывно заполняют некоторый интервал.

Примеры случайных величин:

- дискретных: число попаданий или промахов в серии выстрелов, число выпадений герба или решки при подбрасывании монеты, в схеме Бернулли повторяющихся независимых испытаний - число появлений со-бытия при n испытаниях и т.п.;

- непрерывных: отклонение размера детали от номинального, ресурс (время безотказной работы) системы, физические параметры системы (температура, давление, влажность), длина тормозного пути автомобиля, продолжительность жизни человека и т.п.

Закон распределения случайной величины

Случайная величина полностью определена с вероятностной точки зрения, если известен ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотно-шение между возможными значениями этой величины и соответ-ствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, графически или аналитически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной слу-чайной величины является таблица, состоящая из двух строк, в первой из которых перечислены воз­можные значения случайной величины X, а второй - соответству­ющие им вероятности.

			…
			…

 

Такая таблица называется рядом распределения, а ее графи­ческое изображение - многоугольником распределения.

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных значений случай-ной величины должна быть равна единице:

Ряд распределения может быть построен только для дискретных слу-чайных величин.

Пример. В партии, содержащей 12 изделий, имеются 3 брако­ванных. Выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их ка­чества. Найти закон распределения случайной величины X - числа бракованных изделий среди отобранных.

Решение. Число бракованных изделий среди отобранных - это заранее неизвестная дискретная случайная величина, возможные значения которой

.

Здесь N =12, m =4, n =3, поэтому

В результате получим

 

X
P

Пример. Автомобиль должен проехать по улице, на которой уста-новлены 3 светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 30 сек., желтый - в течение 5 сек., красный – в течение 25 сек. По-строить закон распределения числа остановок автомобиля.

Решение. Число остановок автомобиля X - дискретная случай­ная величина, возможные значения которой Вероятность оста-новки перед каждым светофором

,

следовательно, вероятность проезда q = 1 - p = 0,5.

Проезд автомобиля мимо каждого светофора можно рассматривать как от-дельное независимое испытание. По формуле Бернулли на­ходим

(k = 0, 1, 2, 3).

Поэтому ряд распределения числа остановок автомобиля будет иметь вид

X = k
P	0,125	0,375	0,375	0,125

 

Функциональные характеристики

Случайной величины

Для аналитического описания закона распределения случайной вели-чины применяют интегральную функцию распределения вероятностей или дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной вели­­чины (её также называют плотностью распределения вероятностей или плотностью вероятностей).

Интегральная функция распределения

Вероятностей случайной величины

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной ве-личины F(x)называется вероятность того, что в результате опыта случай-ная величина X примет значение, меньшее произвольно заданного числа x, то есть

- универсальная характеристика, существующая и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Свойства F(x).

1. так как F(x) – вероятность.

2. так как - невозможное событие.

так как - достоверное событие.

3. Если возможные значения то

4. - неубывающая функция, то есть , если .

5. Вероятность попадания случайной величины X на конечный интервал [ a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале

6. В пределе, при стягивании интервала в точку

Следовательно, если X - непрерывная случайная величина, то F(x) -непрерывная функция, и вероятность того, что X примет одно определен-ное значение (то есть вероятность попадания X в точку a),равна нулю. Поэтому для непрерывной случайной величины X справедливы равенства

Если F(x) разрывна в точке a, то скачок функции F(x) в этой точке равен вероятности попадания X в неё. Поэтому для дискретных случай­ных величин

где суммирование распространяется на все те значения , которые мень-ше x, и график функции распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию, непрерывную слева.

Пример. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид

X
P	0,3	0,5	0,2

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

Решение. По теореме сложения вероятностей для несовместных со-бытий найдем:

Для , так как значения случайная ве-личина Х не принимает;

при , так как Х может принять зна-чение 1 с вероятностью 0,3;

при .

Если , то , так как событие достоверно, и его вероятность равна единице.

Следовательно, искомая функция распределения имеет вид

Пример. Случайная величина Х задана интегральной функцией рас-пределения

Найти вероятность того, что в результате трех независимых испы-таний величина Х дважды примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Решение. Вероятность попадания Х на интервал (0,25; 0,75) в од-ном испытании равна

.

По формуле Бернулли

Плотность вероятностей

Пусть X – непрерывная случайная величина с функцией распреде-ления F(x), которую будем предполагать не только непрерывной, но и диф-ференцируемой. Вероятность попадания X на малый интервал равна

Отношение этой вероятности к длине участка в пределе при обозначают через f(x):

Функция - первая производная от интегральной функ-ции распределения называется плотностью вероятностей или диф-ференциальной функцией распределения. График плотности вероятностей называется кривой распределения.

В отличие от F(x) плотность вероятностей не является универ­саль­ной характеристикой распределения, а существует только для непре­рыв­ных случайных величин.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на конеч-ный интервал равна определенному интегралу от плотности веро-ятностей, взятому в пределах от до :

.

Полагая в этой формуле и учитывая определение F(x), получим

,

то есть определение интегральной функции распределения по извест-ной плотности вероятностей сводится к вычислению интеграла с пере­мен-ным верхним пределом.

Свойства f(x).

1. , то есть f(x) - неотрицательная функция.

2. Условие нормировки Следовательно, пло-щадь, ограниченная графиком плотности вероятностей и осью , равна единице.

3. Если все возможные значения то

Пример. Непрерывная случайная величина X задана плот­ностью вероятностей:

Найти: параметр ; интегральную функцию распределения F(x); вероятность попадания X на интер­вал .

Решение.

По условию нормировки отсюда

При , поэтому

При .

При

Итак,

3).

Пример. Плотность вероятностей задана графически с точ­ностью до неизвестного параметра b (см. рис.). Найти: полное аналитическое выра­жение для f(x); F(x);

Решение.

1). Так как площадь под кривой распределения по условию норми­ровки равна единице, то откуда Поэтому

2). Интегральная функция распределения будет равна:

при

при

при

при

Итак,

3). .

Замечание. Так как для непрерывной случайной величины F(x) - непрерывная функция, то ее значения не должны претерпевать разрывов на границах интервалов изменения x. Это должно служить контролем пра-вильности вычислений F(x).