Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Ранее в разделе 3.4. были введены числовые характеристики случайной величины важнейшими из которых являются моменты. Аналогичные числовые характеристики можно ввести и для системы двух случайных величин.

Начальным моментом порядка k,s системы (X,Y) называется

математическое ожидание произведения X^k на Y^s:

Центральным моментом порядка k, s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k -й и s -й степени соответствующих центрированных величин:

где

Запишем формулы для непосредственного подсчета моментов. Для дискретных случайных величин

где — вероятность того, что система (X,Y) примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин X,Y.

Для непрерывных случайных величин:

где f(x, у) — плотность распределения системы.

Помимо чисел k и s,характеризующих порядок момента по от­ношению к отдельным величинам, рассматривается еще суммарный порядок момента k+s, равный сумме показателей степеней при X и Y. Соответственно суммарному порядку моменты классифицируются на первые, вторые и т. д. На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин X и Y, входящих в систему:

Совокупность математических ожиданий т_х, т_у представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это коор­динаты точки на плоскости, вокруг которой происходит рас­сеивание случайных точек (X,Y) будем называть вектором математических ожиданий.

Кроме первых начальных моментов, на практике широко при­меняются еще вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии, величин X и Y.

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох и Оу, относительно вектора математических ожиданий.

Особую роль как характеристика системы играет второй смешанный центральный момент:

т.е. математическое ожидание произведения центрированных случайных величин. Ввиду того, что этот момент играет важную роль в теории систем случайных величин, введем для него особое обозначение:

Характеристика К_ху называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин X, Y.

Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой

а для непрерывных — формулой

Выясним смысл и назначение этой характеристики.

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая рассеивание случайных величин X и Y, а так жевероятностную связь между ними. Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Доказательство проведем для непрерывных случайных величин. Пусть X, Y — независимые непрерывные случайные величины с плотностью распределения f(x,у). Для независимых случайных величин

где — плотности распределения соответственно величин X и Y.

Интеграл

представляет собой не что иное, как первый центральный момент величины X, и, следовательно, равен нулю; по той же причине равен нулю и второй сомножитель; следовательно, для независимых слу­чайных величин .

Таким образом, из независимости случайных величин X и Y следует их некоррелированность, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависимости между ними.

Корреляционный момент характе­ризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Дей­ствительно, если, например, одна из величин (X,Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины (X,Y). Поэтому для характеристики связи между величинами (X,Y) в чистом виде переходят от момента К_ху к безразмерной характеристике

где — среднеквадратические отклонения величин X,Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин X и Y. Очевидно, коэффициент корреляции обращается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для независимых случайных величин, коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда — «несвязанными»).

Выясним, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Выше мы доказали, что две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Остается выяснить: справедливо ли обратное положение, вытекает ли из некоррелированности величин их независимость? Оказывается — нет. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зави­симыми. Равенство нулю коэффициента корреляции — необходимое, но не доста­точное условие независимости случайных величин.

Из некоррелирован­ности величин еще не следует их независимость. Условие неза­висимости случайных величин — более жесткое, чем условие некор­релированности.

Убедимся в этом на примере. Рассмотрим систему случайных величин (X, Y), распределенную с равномерной плотностью внутри круга С радиуса r с центром в начале координат (рис. 5.6.1).

Плотность распределения величин (X, Y) выражается формулой

тогда

(5.6.12)

Нетрудно убедиться, что в данном примере величины являются зависимыми. Действительно, если ве­личина X приняла, например, значение 0, то величина Y может с равной вероятностью принимать все значения от - r до + r, если же величина X приняла значение r, то величина Y может при­нять только одно единственное значение, в точности равное нулю; вообще, диапазон возможных значений Y зависит от того, какое значение приняла X.

Таким образом, мы видим, что из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: , то , причем знак «плюс» или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а. В общем случае, когда величины X и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пре­делах: .

В случае говорят о положительной корреляции величин X и Y, в случае — об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).

Определение 1. Функцией распределения системы п случайных величин называется вероятность совместного выполнения п неравенств вида , то есть:

(5.7.1)

Определение 2. Плотностью распределения системы п непрерывных случайных величин называется n -я смешанная частная производная функции , взятая один раз по каждому аргументу:

(5.7.2)

Зная закон распределения системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы положить все остальные аргументы равными :

(5.7.3)

Если выделить из системы величин подсистему , то функция распределения этой подсистемы определяется по формуле

(5.7.4)

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам:

(5.7.5)

Плотность распределения подсистемы , выделенной из системы , равна:

(5.7.6)

Определение 3. Условным законом распределения подсистемы называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что остальные величины приняли значения .

Условная плотность распределения ее может быть вычислена по формуле:

(5.7.7)

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой частной подсистемы, выделенной из системы , не зависит от того, какие значения при­няли остальные случайные величины.

Плотность распределения системы независимых случайных вели­чин равна произведению плотностей распределения отдельных вели­чин, входящих в систему:

(5.7.8)

Вероятность попадания случайной точки в пре­делы n -мерной области D выражается n -кратным интегралом:

(5.7.9)

Эта формула по существу является основной формулой для вычисления вероятностей событий, не сводящихся к схеме случаев.