Зависимые и независимые случайные величины

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

 

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

14. Закон распределения дискретной случайной величины. Что показывает таблица. Пример: биноминальная случайная величина.

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Случайная величина В = X₁ + X₂ +…+ X_k называется биномиальной. Ясно, что 0 < B < k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов

 

 

15.Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперся. СКО. Доказать формулы для биноминальной случайной величины.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

 

16. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность вероятностей. Функция распределения. Формулы для вычисления числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины при любом имеет место равенство

а также

где F(x) функция распределения величины .

Пусть f(x) - неотрицательная интегрируемая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условию

Тогда функция

обладает всеми свойствами функции распределения. Кроме того, F(x) непрерывна в любой точке (и слева, и справа). Следовательно, случайная величина , определяемая функцией распределения F(x), является непрерывной.

Мы говорим, что случайная величина с функцией распределения F(x) раcпределена с плотностью, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого имеет место равенство (2). При этом f(x) называется плотностью вероятности случайной величины , а ее график – кривой распределения.

Из определения плотности вероятности f(x) и свойств функции распределения следует, что f(x) должна удовлетворять условию (1). И обратно, если и выполняется условие (1), то f(x) является плотностью вероятности.

Если случайная величина имеет плотность вероятности f(x), то имеет место формула

 

 

17. Нормальный закон распределения. Свойства. Правило трех сигм.

Нормальный закон распределения характеризуется частотой отказов a (t) или плотностью вероятности отказов f (t) вида:

, (5.36)

где σ– среднеквадратическое отклонение СВ x;

m x – математическое ожидание СВ x. Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением СВ Х.

x – случайная величина, за которую можно принять время, значение тока, значение электрического напряжения и других аргументов.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и σ.

Вероятность безотказной работы при данном законе распределения определяется по формуле:

. (5.37)

Интенсивность отказов можно определить по следующей формуле:

Правило трех сигм

В теории вероятностей квадратичное отклонение σ_x случайной величины x (от ее математического ожидания) определяется как квадратный корень из дисперсии D_x и называют также стандартным отклонением величины x. Для любой случайной величины x с математическим ожиданием m_x и квадратичным отклонением σ_x вероятность отклонения x от m_x, больших по абсолютной величине k·σ_x, k > 0, не превосходит 1/k² (неравенство Чебышева). В случае нормального распределения указанная вероятность при k = 3 равна 0.0027. В практических задачах, приводящих к нормальному распределению, чаще всего пренебрегают возможностью отклонения от среднего, большего 3·σ_x.

 

18. Закон распределения Пуассона. Функция надежности. Интенсивность отказов. Показательный закон.

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину — время безотказной работы элемента, тогда функция F (t) = p (T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t) = p (T > t) = 1 — F (t).

Эта функция называется функцией надежности.

19. Центральная предельная теорема.

 

Центральная Предельная Теорема 1 Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда

где -- функция распределения стандартного нормального закона.

 

20. Закон Больших чисел.