Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

Закон больших чисел Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

21. Неравенство Чебышева.

неравенство Чебышева. Пусть Х – неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа а справедливо неравенство

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что

. (9)

Для всех слагаемых в правой части (9) , поэтому

. (10)

Из (9) и (10) следует требуемое.

 

 

22. Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева

Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышаю постоянного числа С), то, как бы мало не было положительное числоe, вероятность неравенства

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 

Т.е. можно записать:

 

Часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. В этом случае теорема Чебышева несколько упрощается:

Дробь, входящая в записанное выше выражение есть не что иное как среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

Теорема утверждает, что хотя каждое отдельное значение случайной величины может достаточно сильно отличаться от своего математического ожидания, но среднее арифметическое этих значений будет неограниченно приближаться к среднему арифметическому математических ожиданий.

Отклоняясь от математического ожидания как в положительную так и в отрицательную сторону, от своего математического ожидания, в среднем арифметическом отклонения взаимно сокращаются.

Таким образом, величина среднего арифметического значений случайной величины уже теряет характер случайности.

23. Следствие из теоремы Чебышева.

Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной С, то, как бы мало не было данное положительное число Е, вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий а₁, а₂, …, а_n не превзойдет по абсолютной величине Е, как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Следствие.

Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные a, математические ожидания, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число случайных величин достаточно велико, то, сколько мало ни было данное положительное число Е, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от а не превзойдет по абсолютной величине Е.

При доказательстве теоремы Чебышева и следствия из нее с помощью неравенства Чебышева получаем такие оценки:

, (63)

 

24. Закон больших чисел в форме Бернулли.

(ЗБЧ Бернулли). Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда . При этом для любого

Доказательство. Заметим, что есть сумма независимых, одинаково распределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром (индикаторовтого, что в соответствующем испытании произошло ): , где

и ,

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебышёва и неравенством .

25. Случайные векторы. Совместный закон распределения двух случайных величин.

Горох!)))