Занятие 7. Последовательные независимые испытания.

Краткая теоретическая часть

В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относя­щиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме по­следовательных независимых испытаний. В это понятие мы вклады­ваем следующий смысл.

Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление опреде­ленного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек , где - произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.

Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что

Событие назовем i-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через .

Обозначим через событие, состоящее из всех тех точек пространства , для которых . Если в пространстве U_n имеет место равенство при любых - то испытания называются независимыми.

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности собы­тий не зависят от номера испытания s; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходов очевидно, имеем . Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае ; по этой причине указанный случай носит название схемы Бернулли. В схеме Бернулли обычно полагают .

Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат:

Теорема. Если данные п испытаний независимы, то любые т из них также независимы.

Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что при п испыта­ниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда

(7.1)

Здесь А_i – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем

(7.2)

Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способов т появлений события А и n—т не появлений среди п испы­таний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна

(7.3)

Так как все возможные несовместимые между собой исходы п испытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза,..., n раз, то ясно, что

(7.4)

 

Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням x.

Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает. При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятность принимает для двух значений m, а именно и . Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при , равном максимальному целому числу, большему из и . Число называют наивероятнейшим значением и обозначают через .

Поставим теперь более общую задачу.

Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.

Обозначим через . А_i – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том что А не произойдет в i-ом испытании соответственно.

Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции

(7.5)

то есть

	(7.6)
	(7.7)

Обозначим через событие состоящее в том, что А появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда

(7.8)

В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой

(7.9)

Тест

Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях.

 

1. В каком случае опыты называют независимыми?

а) Если вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов не влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах

б) Если вероятности исходов в каждом из опытов не зависят от порядка следования этих опытов

в) Вероятности исходов (событий) в каждом из предыдущих опытов влияют на вероятности этих исходов в последующих опытах

 

2. Если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова, то вероятность появления события m раз при n опытах с ростом m меняется следующим образом:

а) Сначала убывает, затем достигает своего наименьшего значения, а потом увеличивается

б) Монотонно убывает

в) Сохраняет постоянное значение

г) Монотонно возрастает

д)Сначала возрастает, затем достигает своего наибольшего значения, а потом уменьшается

 

3. Если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова, то вероятность появления события А m раз при n опытах определяется по формуле

а)

б)

в)

г)

 

4. Укажите формулы, по которой можно вычислить вероятность появления события А не менее m раз при n опытах , если вероятность появления события А в каждом из опытов одинакова

а)

б)

в)

 

5. Чему равно наивероятнейшее значение числа m появлений события, если вероятность появления события в каждом из опытов одинакова?

а) Целой части числа

б) Максимальному целому числу, большему из и

в) Целой части числа , если оно является дробным, или максимальному целому числу, большему из и , если является целым

 

6. Если опыты независимы, но вероятности появления события А в каждом из них различны, то вероятность появления события m раз при n опытах равна коэффициенту при в разложении производящей функции, которая имеет вид:

а)

б)

в)

Решение типовых задач

Пример 7.1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

 

Решение.

Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = l/2.

а) Вероятность выиграть три партии из четырех

Вероятность выиграть пять партий из восьми

.

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

,

а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

.

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

 

Пример 7.2. Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отклю­чению потребителя, равна 0,6, для второго — 0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью:

а) если все потребители соединены последовательно;

б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 6).

Решение.

а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения каждого потребителя, т. е.

.

Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. .

б) В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель:

.

 

Пример 7.3. Большая партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

 

Решение.

Искомое число n находится по формуле .

В данном случае , а . Поэтому .

 

Пример 7.4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

 

Решение.

В данном случае n = 10, p = 0,4, (n + 1) p = 4,4. Наивероятнейшеё число , заявок равно целой части числа (n + 1) p, т. е. p = 4.

Вероятность четырёх заявок из десяти

.

7.4. Задачи для самостоятельной работы

7.1. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит:

а) цифры пять;

б) двух пятерок.

Известно, что все номера четырехзначные, неповторяю­щиеся и равновозможные (считается возможным номер 0000).

(Ответ: а) p = ; б) р = )

 

7.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье:

а) пять мальчиков;

б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

(Ответ: а) p = б) р = )

 

7.3. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

(Ответ: p = 0,17)

 

7.4. Событие В наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события A при одном опыте равна 0,3 и произведено:

а) пять незави­симых опытов;

б) семь независимых опытов.

(Ответ: а) p = 0,163; б) р = 0,353)

 

7.5. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие A произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие A не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие A имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

(Ответ: p = )

 

7.6. По мишени в тире произведено 200 независимых выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно: или , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

(Ответ: Вероятнее первая гипотеза)

 

7.7. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события A при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

(Ответ: p = 0,2)

 

7.8. Вероятность появления некоторого события в каждом из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере три раза.

(Ответ: p = 0,73)

 

7.9. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

(Ответ: p = )

 

7.10. Определить вероятность получения не менее 28 очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15, а менее восьми очков — 0,4.

(Ответ: p = )

 

7.11. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что:

а) у обоих будет равное количество попаданий;

б) у пер­вого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

(Ответ: а) p = 0,321; б) р = 0,243)

 

7.12. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку, Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха).

(Ответ: p = )

 

7.13. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.

(Ответ: p = 0,784)

 

7.14. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из трех независимых опытов, если вероятности отказа прибора при одной, двух и трех опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5 и 0,8.

(Ответ: p = 0,2816)

 

7.15. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трех отказов?

(Ответ: Должно быть )

 

7.16. Охотник стреляет в лося с расстояния 100 м и попадает в него с вероятностью 0,5. Если при первом выстреле попадания нет, то охотник стреляет второй раз, но с расстояния 150 м. Если нет попадания и в этом случае, то охотник стреляет третий раз, причем в момент выстрела расстояние до лося равно 200 м. Считая, что вероятность попадания обратно пропорциональна квадрату расстояния, определить вероятность попадания в лося.

(Ответ: p = )

 

7.17. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле p = 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз?

(Ответ: )