Определение и простейшие свойства характеристических функций.

Определение 1. Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины , то есть

(8.1.1)

если X – дискретная случайная величина и известен ряд ее распределения, то

(8.1.2)

если X – непрерывная случайная величина с известной плотностью распределения f(x), то

(8.1.3)

Следует заметить, что ряд (8.1.2) и интеграл (8.1.3) сходится абсолютно. Рассмотрим сходимость на примере интеграла (8.1.3)

Теорема 1. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям:

(8.1.4)

Доказательство. Соотношения (8.1.4) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, подставляя в (8.1.3) получим

Откуда .

Нам остается доказать равномерную непрерывность функции q(x). С этой целью рассмотрим разность

(8.1.5)

и оценим ее по модулю. Имеем:

Пусть произвольно; выберем столь большое А, чтобы

(8.1.6)

и подберем столь малое h, чтобы для выполнилось условие

(8.1.7)

Тогда, учитывая (8.1.6) и (8.1.7) получаем

(8.1.8)

Это неравенство доказывает теорему.

Теорема 2. Если , где a и b — постоянные, то

(8.1.9)

где и есть характеристические функции величин Y и X.

Доказательство. Действительно,

Теорема 3. Характеристическая функция суммы двух не­зависимых случайных величин равна произведению их харак­теристических функций.

Доказательство. Пусть X и Y — независимые случайные вели­чины и . Так как X и Y независимы, то случайные величины и . Отсюда вытекает, что .

Это доказывает теорему.

Следствие. Если

причем каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величины X равна произве­дению характеристических функций слагаемых.

Применение характеристических функций в значительной степени опирается на свойство, сформулированное в теореме 3. Сложение независимых случайных величин приводит к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых. Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристиче­ских функций.

Теорема 4(единственности). Распределения F(x),f(x) однозначно определяются своей характеристической функцией .

Обратное соответствие устанавливается, в частности, следующей формулой:

(8.1.10)

Теорема 5(непрерывности).

а) Если последовательность функций распределения сходится к функции распределения F в точках ее непрерывности, то последователь­ность соответствующих характеристических функций сходится к характеристической функции распределения F.

б) Если последовательность характеристических функций сходится всюду на R¹ к некоторой функции , непрерывной в точке t =0, то есть характеристическая функция распределения F, при этом в точках непрерывности F функция распределения F является пределом последовательности распределений , соответствующей .

Теорема 6. Если случайная величина X имеет абсолютный момент п-го порядка, то характеристическая функция вели­чины X дифференцируема п раз и при

(8.1.11)

Доказательство. Действительно, k - кратное () фор­мальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству

(8.1.12)

Но

и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен. Отсюда следует существование интеграла (8.1.12) и законность дифференцирова­ния. Положив в (8.1.12) t= 0, получим:

Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим . Тогда

Приняв во внимание, что q_x (0)=1 и равенство (8.1.11), находим:

Отсюда

(8.1.13)

Производная k -го порядка логарифма характеристической функции в точке 0, умноженная на , называется семиинвариантом k-го порядка случайной величины.

Как это непосредственно следует из теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются.

Мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т. е. момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и вто­рого порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка k есть (целая) рациональная функция первых k мо­ментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков:

Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций.

Пример 1. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией . Характери­стическая функция величины равна

Подстановкой

приводится к виду

Известно, что при любом вещественном a

следовательно.

В частном случае, когда , то есть a =0, а =1, то характеристическая функция имеет вид .

Пример 2. Найти характеристическую функцию случайной вели­чины X, распределенной по закону Пуассона.

Согласно предположению, случайная величина X принимает только целочис­ленные значения, причем

где — постоянная. Характеристическая функция величины X равна

отсюда находим: