Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Краткая теоретическая часть

Условной вероятностью Р(A|В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная при условии, что имело место событие В.

События А и В независимы, если Р(A | В) = Р(А).

Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

,

которая обобщается на произведение n событий:

.

События независимы в совокупности, если для любого m (m =2, 3,., n) и любых k_j (j =1, 2,..., n), , выполняется:

.

Тест

1. Что означает тот факт, что события А и В являются независимыми?

а) Наступление события В не изменяет вероятности наступления события А

б) Наступление события А не изменяет вероятности наступления события В

в) Появление события А исключает появление события В

г) Появление события В исключает появление события А

д) События А и В не могут наступить одновременно

е) По крайней мере одно из событий А и В обязательно наступит в ходе опыта

 

2. Какие из приведенных пар событий являются независимыми? Укажите 3 пары.

а) Восход солнца и пение птиц утром в ясную погоду

б) Отсутствие в аудитории лектора и отмена лекции, которую он читает

в) Отсутствие в аудитории одного студента из группы и отмена лекции, на которой он должен присутствовать

г) Сработавшая в магазине сигнализация и приезд в этот магазин сотрудников вневедомственной охраны

д) Выпадение на игральной кости определенной грани и выпадение «герба» при подбрасывании монеты

е) Показ нового фильма в кинотеатрах и выпуск очередного номера еженедельной газеты

ж) Знание студентом всех вопросов в экзаменационных билетах и успешная сдача им экзамена

з) Чрезвычайное происшествие в стране и экстренный выпуск новостей по центральному каналу телевидения

 

3. Какую вероятность называют условной?

а) Вероятность события А, которому благоприятствует m исходов испытания из n возможных

б) Вероятность попадания точки, брошенной в область G с квадрируемой границей, в подобласть g

в) Вероятность события А, определенную при условии, что произошло событие В, имеющее ненулевую вероятность

 

4. Как формулируется теорема умножения вероятностей?

а) Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого

б) Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие не наступит

в) Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

г) Вероятность совместного появления двух событий равна сумме вероятностей этих событий

 

5. Следствие из теоремы умножения вероятностей формулируется следующим образом:

а)

б)

в)

г)

 

6. Для каких событий применима теорема умножения вероятностей?

а) Только для независимых

б) Только для противоположных

в) Только для несовместных

г) Только в случае, когда одно из событий является невозможным

д) Только для полной группы попарно несовместных и равновозможных событий

е) Для любых событий

Решение типовых задач

Пример 3.1. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя?

 

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что не будет разрыва цепи. Искомая вероятность равна вероятности того, что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие A_k означает, что k -й элемент не выйдет из строя (k =1, 2, 3). Тогда

A = A₁ A₂ A₃, т.е. P(A) = Р(A₁ A₂ A₃).

Так как события независимы, то

P(A)=Р(A₁)Р(A₂)Р(A₃)=0,7*0,6*0,4=0,168.

Если первый элемент не выходит из строя, то

p =Р(A₂ A₃)=0,24.

 

Пример 3.2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

 

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие небракованное, а событие В — в том, что выбранное изделие первосортное.

Дано:

Р (A) =1—0,04 =0,96,

Р(B | A) = 0,75.

Искомая вероятность p = Р(АВ) = 0,96*0,75 = 0,72.

 

Пример 3.3. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?

 

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что в партии является в наличии хотя бы одна бракованная деталь среди пяти проверяемых.

Найдем вероятность q противоположного события , которое заключается в том, что партия деталей будет принята. Данное событие является произведением пяти событий

А = А₁А₂А₃А₄А₅ ,

где A_k (k = 1, 2, 3, 4, 5) означает, что k -я проверенная деталь доброкачественная.

Вероятность события A₁ равна

P(A₁)= ,

так как всего деталей 100, а исправных 95.

После осуществления события A₁ деталей останется 99, среди которых исправных 94, поэтому

Р(A₂ | A₁)= .

Аналогично

Р(A₃ | A₂A₁)= ,

Р(A₄ | A₃A₂A₁)= ,

Р(A₅ | A₄A₃ A₂A₁)= .

По общей формуле находим

Искомая вероятность = l— q = 0,23.

3.4. Задачи для самостоятельной работы

3.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

(Ответ: p = 0.94)

 

3.2. Вероятность выхода из строя k -го блока вычислительной машины за время Т равна p_k, (k =l, 2,..., n). Определить вероятность выхода из строя за указанный промежуток времени хотя бы одного из n блоков этой машины, если работа всех блоков взаимно независима.

(Ответ: p = )

 

3.3. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

(Ответ: p = 0.512)

 

3.4. Вероятность того, что изготовленная на первом станке, деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

(Ответ: p = 0.251)

 

3.5. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента К или двух элементов K₁ и К₂, которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,2. Определить вероятность разрыва электрической цепи.

(Ответ: p = 0.328)

 

3.6. Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна половине. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.

(Ответ: p

 

3.7. В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что четыре наугад поставленные в данном круге точки окажутся внутри треугольника?

(Ответ: p = )

 

3.8. События A и В несовместны, Р(A) 0 и Р (B). Зависимы ли данные события?

(Ответ: События зависимы)

 

3.9. На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.

(Ответ: p = 0,197)

 

3.10. Три игрока играют на следующих условиях. Сначала против первого последовательно ходят второй и третий игроки. При этом первый игрок не выигрывает, а вероятности выигрыша для второго и третьего игроков одинаковы и равны 0,3. Если первый игрок не проигрывает, то он делает по одному ходу против второго и третьего игроков и выигрывает у каждого из них с вероятностью 0,4. После этого игра заканчивается. Определить вероятность того, что в результате такой игры первый игрок выиграет хотя бы у одного партнера.

(Ответ: p = 0,314)

 

3.11. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероят­ность поражения второй мишени.

(Ответ: p =0,75)

 

3.12. С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»?

(Ответ: p = )

 

3.13. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места. Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра нечетная?

(Ответ: p = ; если известно, что последняя цифра нечетная, то p = )

 

3.14. В обществе из 2 n человек одинаковое число мужчин и женщин. Места за столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.

(Ответ: p = )

 

3.15. Общество, состоящее из пяти мужчин и десяти женщин, наудачу разбивается на пять групп по три человека. Найти вероятность того, что в каждой группе будет по одному мужчине.

(Ответ: p = )