Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Краткая теоретическая часть

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей плотность вероятности , вычисляются по формулам

,

.

Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение определяется формулой

.

Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия

.

Начальный момент k -ro порядка m_k и центральный момент k -ro порядка вычисляются по формулам

,

Для существования моментов нечетного порядка необходима абсолютная сходимость соответствующих интегралов.

 

Тест

1. Выберите те из следующих предложений, которые являются верными. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин…

а) являются вероятностными характеристиками, не имеющими ничего общего с аналогичными характеристиками дискретных случайных величин

б) обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин

в) как и в случае дискретных случайных величин, определяют положение реализации случайной величины на числовой прямой и рассеянье случайной величины соответственно

2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X, имеющей плотность вероятности , вычисляются по формулам

а)

б) ,

.

в)

г)

 

3. Начальный и центральный моменты -го порядка – это числовые характеристики

а) дискретных случайных величин

б) непрерывных случайных величин

в) и дискретных, и непрерывных случайных величин

 

4. Начальный и центральный моменты -го порядка непрерывной случайной величины определяются формулами:

а)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

б)

,

где - математическое ожидание , - возможные значения случайной величины , - соответствующие им вероятности, - математическое ожидание

в)

,

где - математическое ожидание случайной величины , - плотность вероятности случайной величины

г)

,

где - математическое ожидание случайной величины , - плотность вероятности случайной величины

 

Решение типовых задач

Пример 10.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)

.

Определить:

а) математическое ожидание М[X];

б) дисперсию D[Х] и среднее квадратическое отклонение ;

в) центральные моменты третьего и четвертого порядков и .

Решение.

Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида

целое),

которые равны: при n четном

,

где

,

и при n нечетном

.

Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно

.

Произведя замену переменных , получим

.

б) Так как

, то

.

в) ,

где .

Следовательно,

,

, где

Следовательно, .

Пример 10.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа)

.

Решение.

Так как плотность вероятности симметрична относительно нуля, то . Срединное отклонение Е вычисляется по формуле

.

Отсюда .

10.4. Задачи для самостоятельной работы

 

10.1. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон равномерного распределения)

Определить:

а) ;

б) ;

в) найти связь между средним квадратическим и срединным отклонениями случайной величины Х.

(Ответ: а) ; б) в) )

 

10.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса)

Определить постоянные a и b. Найти и .

(Ответ: )

 

10.3. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если плотность вероятности

(Ответ: )

 

10.4. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид (закон арксинуса)

.

Определить дисперсию и срединное отклонение.

(Ответ: )

 

10.5. Плотность вероятности случайных амплитуд А боковой качки корабля определяется формулой (закон Рэлея)

,

где - дисперсия угла крена.

Одинаково ли часто встречаются амплитуды, меньшие и большие средней?

(Ответ: ; )

10.6. Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла)

.

Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину А при заданном h.

(Ответ: )

 

10.7. Плотность вероятности случайной величины X задана в виде

Определить и .

(Ответ: )

 

10.8. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Найти М[Х] и D[X].

(Ответ: )

10.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа):

.

(Ответ: )

 

10.10. Случайная величина X имеет плотность вероятности (гамма-распределение)

Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

 

10.11. Случайная величина X имеет плотность вероятности (бета-распределение)

Определить параметр А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

10.12. Случайная величина X имеет плотность вероятности

,

где — целое положительное число, большее 1. Определить постоянную А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ:

Указание: Для вычисления интеграла следует воспользоваться подстановкой , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию)

10.13. Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид ( -распределение)

,

где .

Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

(Ответ: )

 

10.14. Доказать, что при выполнении условий

и

для математического ожидания случайной величины справедливо равенство

.

(Указание: Воспользоваться соотношением )

 

10.15. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой

.

Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

(Ответ:

Указание: Обратить внимание на то, что является функцией распределения случайного времени поисков , необходимого для обнаружения судна)

 

10.16. Определить математическое ожидание m(t) массы радиоактивного вещества спустя время t, если в начальный момент масса вещества была , а вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р.

(Ответ:

Указание: Учесть, что вероятность распада любого фиксированного атома за промежуток времени равна и составить дифференциальное уравнение для m(t))

 

10.17. Определить время полураспада радиоактивного вещества, если вероятность распада ядра любого атома в единицу времени постоянна и равна р. (Время полураспада Т_п определяется моментом, когда масса радиоактивного вещества в среднем уменьшается вдвое.)

(Ответ:

Указание: Воспользоваться решением задачи 10.16)

 

10.18. Обработка результатов одной переписи показала, что плотность вероятности возраста лиц, занимающихся научной работой, может быть представлена формулой

, время в годах, .

Определить, во сколько раз число научных работников в возрасте ниже среднего превышает число научных работников в возрасте выше среднего.

(Ответ: , то есть научных работников, имеющих возраст меньше среднего (среди научных работников), больше, чем имеющих возраст больше среднего. Средний возраст среди научных работников года)

 

10.19. Найти для распределения Стьюдента, задаваемого плотностью вероятности

,

начальные моменты при при .

(Ответ: при ,

Указание: При вычислении интегралов вида произвести замену переменных , приводящей к бета-функции, а последнюю выразить через гамма-функцию)

 

10.20. Случайная величина X подчиняется бета-распределению, т. е. имеет плотность вероятности

Найти начальный момент k -гoпорядка.

(Ответ: )

 

10.21. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей в интервале плотность вероятности .

(Ответ: )

 

10.22. Выразить центральный момент через начальные моменты.

(Ответ: , где )

10.23. Выразить начальный момент через центральные моменты и математическое ожидание .

(Ответ: , где )

 

Занятие 11. Закон Пуассона.

Краткая теоретическая часть

Законом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины X вида

,

где .

Законом Пуассона может быть приближенно заменено биномиальное распределение, когда вероятность р появления события А в каждом отдельном опыте мала, а число п производимых опытов велико. В этом случае имеет место приближенное равенство

,

где .

 

Тест

1. Распределенными по закону Пуассона могут быть:

а) только дискретные случайные величины

б) только непрерывные случайные величины

в) и дискретные, и непрерывные случайные величины

 

2. Является ли обязательным условие, что случайная величина может быть распределенной по закону Пуассона только в случае, если она принимает целочисленные значения?

а) Да

б) Нет

 

3. Законом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины вида

а)

б)

в)

г)

д)

 

4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, обладают следующим свойством:

а) равны нулю

б) равны между собой

в) равны параметру Пуассона

 

Решение типовых задач

Пример 11.1. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год?

Решение.

Считая случайное число X отказавших элементов подчиняющимся закону Пуассона

, где , получим:

1) вероятность отказа ровно двух элементов

;

2) вероятность отказа не менее двух элементов

.

Пример 11.2. При разрыве баллона в процессе испытания на прочность образовалось 100 осколков, распределившихся равномерно в «конусе разлета», т. е. в области, ограниченной двумя коническими поверхностями с углами 30° и 60° (см. рис.). Найти математическое ожидание и дисперсию числа осколков, приходящихся на 1 м² части поверхности сферы, находящейся внутри конуса разлета, если радиус сферы 50 м, а центр ее совпадает с точкой разрыва.

 

Решение.

Пересечем конус разлета осколков сферой радиуса 50 м и определим математическое ожидание числа осколков, приходящихся на единицу площади поверхности шарового пояса, образовавшегося в результате пересечения конуса разлета со сферой. Обозначим через S площадь поверхности шарового пояса:

м²

Так как общее число осколков N= 100, то математическое ожидание числа их а, приходящегося на единицу площади поверхности шарового пояса, будет

осколка.

Вероятность попадания данного осколка в данную площадку м² мала(она равна , а направления полета осколков взаимно независимы; поэтому можно считать, что случайное число осколков X, приходящееся на 1 м² поверхности сферы, распределено по закону Пуассона и, следовательно, имеет место равенство

.

11.4. Задачи для самостоятельной работы

11.1. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 часов работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы.

(Ответ: )

 

11.2. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?

(Ответ: )

 

11.3. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

(Ответ: )

11.4. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

(Ответ: )

 

11.5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов.

(Ответ: 1) 0,95958; 2) 0,95963)

11.6. За рассматриваемый период времени среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента, равно 8. Какова вероятность, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

(Ответ: 0,9)

 

11.7. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

(Ответ: 0,143)

11.8. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.

(Ответ: )

11.9. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек, испускало в среднем 3,87 -частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну -частицу.

(Ответ: 0,4)

 

11.10. Определить асимметрию случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется отношение ).

(Ответ: )

 

11.11. В аппаратурный отсек космической ракеты за время ее полета попадает элементарных частиц с вероятностью

.

Условная вероятность для каждой из них попасть при этом в уязвимый блок равна р. Найти вероятность попадания в блок:

а) ровно k частиц;

б) хотя бы одной частицы.

(Ответ: а) ; б) )

 

11.12. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада , атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме .

Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.

Число Авогадро N₀ = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.

Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.

(Ответ: . Составить дифференциальное уравнение для среднего числа частиц в момент времени . Приравнять среднее число частиц половине первоначального. Полученное в результате этого уравнение дает возможность найти вероятность распада данной частицы; умножая ее на число частиц, получим )

 

11.13. Определить вероятность того, что в экран площадью см², поставленный на расстоянии r =5 см перпендикулярно потоку от -радиоактивного вещества, попадает в течение секунды:

а) ровно десять -частиц;

б) не менее двух -частиц,

если период полураспада вещества лет, масса вещества М — 0,1 г, атомный вес вещества А = 238.

Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь.

Число Авогадро N₀ = — число атомов в грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу.

Периодом полураспада вещества называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в среднем вдвое.

(Ответ: а) ; б) , где )

 

11.14. Доказать, что полиномиальное распределение

,

где

,

а

,

можно аппроксимировать функцией

,

где , если все вероятности , за исключением ,малы, а велико.

(Указание: Представить в виде:

, где . Так как и конечны, то )