Случайная переменная и закон её распределения. Распределение хи-квадрат.

Переменная величина называется случайной, если свои возможные значения она принимает в рез-те некоторого опыта, и до его завершения не возможно предсказать какое точно значение она примет.

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Закон распределения хи-квадрат случайной величины имеет вид(ХИ2РАСП,ХИ2ОБР):

, , где m- кол-во степ.своб.

 

10. Случайная переменная и закон её распределения. Распределение Стьюдента Квантиль, t крит уровня и её расчёт в Excel.

Переменная величина называется случайной, если свои возможные значения она принимает в рез-те некоторого опыта, и до его завершения не возможно предсказать какое точно значение она примет.

З-н распределения дискретной случайной переменной- функция скалярного аргумента q с областью определения , характеризующая возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

З-н распределения дискретной случайной переменной называется вероятностной функцией, значение которой равны вероятностям появления в опыте возможного значения сл. переменной:

Закон распределения Стьюдента случайной величины имеет вид(СтьюдРАСП,СтьюдРаспОБР):

, Г- гамма функция Эйлера, m- число степ.своб.

СтьюдРАСП-значение з-на распределения. Для расчёта tкрит используем ф-цию СтьюдРаспОБР(значение аргумента з-на распределения), глее вводим вероятность 1- , и кол-во степеней свободы.

 

Ковариация Cov(x, y), и коэффициент корреляции, Cor(x, y) пары случайных переменных (x, y). Частная ковариация и частный коэффициент корреляции.

Экономические переменные объекта (случайные или детерминированные), как правило, являются зависимыми величинами. Ковариации и коэффициент корреляции служат мерилами такой зависимости. Так, если (x, y) – пара случайных переменных (СП), то их ковариацией называется константа C_xy :

C_xy = Cov(x, y) = E(x · y) – E(x) · E(y). (1)

Свойства математического ожидания позволяют представить C_xy и так:

C_xy = E((x–m_x) · (y–m_y)), где m_x = E(x), m_y = E(y). (2)

Из формулы (1) видно, что для вычисления C_xy нужно знать закон распределения P_xy (q, r) пары

(x, y). Если он неизвестен, что и бывает на практике, то ковариацию можно оценить по выборке из генеральной совокупности X_x,y:

{(x₁, y₁), (x₂, y₂),... (x_n, y_n)}, (3)

Оценкой ковариации служит величина

(4)

именуемая выборочной ковариацией. Каждая пара в выборке (3) имеет один и тот же закон распределения, P_xy (q, r); компонеты двух различных пар, например, (x₁, y₁) и (x₂, y₂) являются независимыми случайными переменными. Добавим, что случайные переменные (x_i, x_j) из выборки (3) обладают одинаковыми количественными характеристиками; аналогично, случайные переменных (y_i,y_j) имеют одинаковые количественные характеристики.

Оценка (4) совершеннее оценки (5) в том смысле, что она обладает свойством несмещённости,

(5)

отсутствующим у оценки, которая, в силу данного обстоятельства, является смещённой оценкой ковариации.

Наконец, отметим, что физическая размерность C_xy равна произведению физических размерностей СП x и y. Но часто удобно использовать безразмерную (нормированную) ковариацию r_xy ,

, (6)

которая именуется коэффициентом корреляции. Замечательно, что всегда

–1 £ r_xy £ +1, (7)

причём если |r_xy | = 1, то y = a₀ + a₁ · x. Так что при |r_xy | = 1 между переменными (x, y) существует функциональная (жесткая) линейная зависимость. Если же = 0, то связь между переменными x и y либо вообще отсутствует, либо же имеет место функциональная (жесткая), но нелинейная зависимость.

Свойства

1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;

2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;

3.

4. ;

5. ;

6.

7.

 

12. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, F крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайная величина Функция называется случайной величиной на вероятностном пространстве , .

Опр2. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр3. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Для непрерывной величины

Закон распределения Фишера

F распределение , где , – независимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы и .

Плотность , где

Или

(с неотрицательной областью изменения

, Г(n+1)=n!, а и соответственно натуральные числа (параметры закона Фишера).

 

Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть

X = {q1, q2,..., qn }.

Если же X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть

X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).

Пусть - две независимые случайные переменные, имеющие распределение с числом степеней свободы n и m.

Случайная переменная называется дробью Фишера, эта величина распределена по закону Стьюдента. Это позволяет при любом альфа вычислить , удовлетворяющее уравнению

 

также называется t _крит уровня Это двухсторонний квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы n.

Эту величины также можно вычислить с помощь Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам .

 

13. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Рассмотрим набор случайных переменных . Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается :

(1)

Его основными характеристиками служат:

1) Вектор ожидаемых значений компонент:

так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора .

2) Ковариационная матрица:

(2)

По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, - это дисперсия компоненты вектора (1). Элемент - это ковариация компонент и вектора (1) Матрица является симметричной.