Моделирование сезонной составляющей при помощи фиктивных переменных.

На примере:

Требуется составить спецификацию модели, которая позволяет объяснять величину спроса (y^d) на конкурентном рынке нормального товара значением его цены (p), уровнем душевого дохода потребителя (x) и фактором сезонности (кварталом года).

Этот приём заключается в использовании в модели фиктивных экзогенных переменных. В модели, обсуждаемов в данной задаче, влияние фактора сезонности на уровень спроса отразим путем включения в линейную функцию спроса трёх фиктивных переменных d₁, d₂, и d₃. Эти переменные прнимают, по нашей договорённости, а не объективно (отсюда и происходит их название – фиктивные), следующие значения:

d₁={1- для первого квартала, 0- для других кварталов};

d₂={1- для второго квартала, 0 - для других кварталов}; (1)

d₃={1- для третьего квартала, 0 - для других кварталов}.

Теперь, учитывая решение задачи 1, получаем

y^d = a₀ + a₁ · p + a₂ · x + b₁∙d₁ + b₂∙d₂ + b₃∙d₃, (2)

a₁ < 0, a₂ >0.

Это и есть модель уровня спроса на нормальное благо с учётом фактора сезонности. Заметим, что структурная форма данной модели совпадает с приведённой формой; так бывает в тех случаях, когда эконометрическая модель имеет вид изолированного уравнения. Подчеркнём, что эндогенная переменная модели (2), y^d объясняется пятью экзогенными переменными, из которых три – фиктивные. Добавим, что бинарный характер (1 или 0) фиктивных переменных (1) фактически влечёт изменение структуры уравнения модели (2) в зависимости от значений этих переменных. Так, при q₁=1 (первый квартал) модель спроса (2) принимает вид

y^d = (a₀ + b₁) + a₁ · p + a₂ · x (3)

a₁ < 0, a₂ >0;

а, скажем, в ситуации четвёртого квартала, когда q₁= q₂ = q₃ = 0, модель (2) выглядит иначе:

y^d = a₀ + a₁ · p + a₂ · x, (4)

a₁ < 0, a₂ >0.

В силу данного обстоятельства модели вида (2) с бинарными фиктивными переменными называются моделями с переменной структурой.

Добавим, что состояние фактора, при котором все фиктивные переменные равны 0 именуется базовым.

 

Регрессионная зависимость случайных переменных. Функция регрессии, стандартные модели функции регрессии.

Модели, в состав которых входят случайные возмущения, отражающие воздействие на эндогенные переменные неидентифицируемых факторов принято называть эконометрическими (регрессионными).

Включение в модели случайных возмущений – есть 4-ый принцип их спецификации.

Понятие ожидаемого значения случайной переменной позволяет дать точное определение понятия функции регрессии.

Пусть случайная переменная y принимает свои значения в опыте вместе с переменной x (случайной или детерминированной - неважно). Обозначим символом - закон распределения СП y при фиксированном значении переменной x.

Определение 6.2. Функцией регрессии y на x (эта функция обозначается символом ) называется ожидаемое значение y, вычисленное при заданном значении переменной x, то есть

 

E(y = (1)

Обратим внимание, что величина , являясь именно функцией аргумента x, позволяет представить случайную переменную y в виде

y = + u, (2)

где u – случайная переменная (остаток), такая, что .

Кроме того, средний квадрат разброса значений переменной y вокруг величины оказывается минимальным при каждом значении переменной x:

, отсюда

является оптимальным алгоритмом прогнозирования значений y по x .

 

На практике функция (1) чаще всего неизвестна, поэтому вместо неё используют доступные модели, такие как:

линейная функция - f(x)=a₀+a₁∙x и парабола второго порядка - f(x)=a₀+a₁∙x+a₂∙x²

степенная - ,

показательная - f(x) = a₀ · exp(a₁ · x),

функция Перла-Рида - ,

функция Джонсона - f(x) = exp(a₀ + a₁ /x).

ЛММР

Объясняющие переменные в общем случае не зависят от случайного остатка . Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.

 

19. Схема Гаусса-Маркова (на примере модели Оукена).

Модель Оукена:

t=1,2,...

где w_t - темп прироста безработицы в году t,

y_t - темп роста ВВП

 

Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:

, причём

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова (). Вот компактная запись этой схемы

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

 

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной w_t модели, расширенная столбцом единиц; наконец,

– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной w_t

Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные стат. процедуры. Требования к наилучшей стат. процедуре.

Пусть имеется выборка

значений переменных x и y модели

Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели

В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛАУ:

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы .

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

 

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a₀);

Наконец, – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной х_t.

 

Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора обозначим символом F.

Наилучшая процедура f* (·, ·) из выбранного класса процедур F должна генерировать оценку , которая обладает одновременно двумя свойствами:

, i=0,1 (эффективности).

21. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство а.

Нам необходимо отыскать процедуру M(X), трансформирующей вектор в вектор наилучших оценок коэффициентов. Тогда наша задача построить , удовлетворяющим двум условиям оптимальности.

Из предпосылок (1), (4), а также свойств ковариации следует, что

Cov(

Также (11) можно представить в виде

Или . (12)

Теперь рассмотрим требование о минимальной дисперсии.

(из свойства Var(ax+by)= )

Тогда получим следующую задачу

Решив задачу получим

Подставим в(9) и получим (13)

Теперь сопоставляя (10) и (13) получим

ЧТД

 

22. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения Cov .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство в.

Рассмотрим процедуру Эйткена

С учетом и (теорема Фишера),

Где M = , получим (9)

В том случае, когда выполнены (2),(3), то , тогда (9) превращается в (7)

 

23. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод свойства обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК),

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1) Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3) Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда: a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8) где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство.

Если вектор случайных возмущений в уравнениях наблюдений имеет произвольную ковариационную матрицу (остатки гетероскедастичны и коррелированны), то оптимальная линейная процедура оценивания параметров линейной модели множественной регрессии именуется обобщённым методом наименьших квадратов (или процедурой Эйткена) и определяется формулами:

. (1) (2)

M = , (3) . (4)

Обратимся к схеме Гаусса-Маркова и перепишем её по-другому:

На время будем здесь рассматривать вектор как переменный, тогда вектор оказывается функцией (аффинным преобразованием) вектора . Далее, по правилу

(5)

образуем квадратичную (сложную) функцию вектора .

Нас интересует ответ на вопрос: при каком же значении переменного вектора функция (5) достигает своего безусловного минимума? Ответ находится, очевидно, в итоге решения следующей задачи на безусловный экстремум

.

Можно проверить, что единственным решением служит именно вектор . Это обстоятельство и проясняет причину упомянутого выше названия данной процедуры – обобщённый метод наименьших квадратов.

Подставим значение = вектора в ,

результат подстановки обозначим

, где (9.37)

В частном случае, когда , величина имеет особенно простой вид:

= = ESS,

так что свойство наименьших квадратов обосновано.

 

24. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод оценки дисперсии единицы веса, .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Перепишем схему Гаусса-Маркова в следующем виде:

Рассмотрим величину (квадратичная сложная форма вектора а); она зависит, очевидно, от выборки, а значит является случайной переменной. Какие количественные характеристики имеет эта переменная? Можно доказать (делать этого здесь не будем), что

Получается, что величина

(*)

служит несмещённой оценкой константы . Заметим, что при формула (*) превращается в выражение