Проблема, симптомы мультиколлинеарности. Методика отбора регрессоров в линейной модели в ситуации мультиколлинеарности.

Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно по следующим причинам:

· затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии;

· параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

· оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний, что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования

Симптомы:

а) резкое изменение значений оценок модели при незначительной вариации состава обучающей выборки;

б) наличие в оцененной модели небольших по модулю значений при достаточно высоком значении коэф-та детерминации;

в) большое значение коэф-та детерминации между каждой объясняющей пер-ой линейной модели и ее остальными объясняющими пер-ми.

Поэтому, если в модели возникла ситуация мултиколлинеарности, то из состава объясняющих пер-х модели следует вывести дублирующие друг друга пер-е.

Решению проблемы устранения мультиколлинеарности факторов может помочь и переход к уравнениям приведенной формы. С этой целью в уравнение регрессии производится подстановка рассматриваемого фактора через выражение его из другого уравнения.

Метод главных компонент применяется для исключения или уменьшения мультиколлинеарности объясняющих переменных регрессии. Основная идея заключается в сокращении числа объясняющих переменных до наиболее существенно влияющих факторов. Это достигается путем линейного преобразования всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n) в новые переменные, так называемые главные компоненты. При этом требуется, чтобы выделению первой главной компоненты соответствовал максимум общей дисперсии всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n). Второй компоненте — максимум оставшейся дисперсии, после того как влияние первой главной компоненты исключается и т. д.

 

57. Эконометрические модели в виде систем линейных одновременных уравнений (СЛОУ): примеры и проблема идентификации (на примере модели спроса-предложения блага).

Системы одновременных уравнений.

Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых, кроме объясняю­щих переменных, может включать в себя объясняемые переменные из других уравнений системы. Системы одновременных уравнений могут быть использованы для моделей национальной экономики.

Ярким примером системы одновременных уравнений служит модель спроса и предложения. Пусть Q_tD – спрос на товар в момент времени t, Q_tS -предложение товара в момент времени t, Р_t – цена на товар в момент времени t, Y_t - доход в момент t.

Составим систему уравнений "спрос - предложение":

Q_tS = α₁ + α₂ Р_t +a3 Р_t-1 + ξ_t (предложение),

Q_tD = β₁ + β₂ Р_t + β₃ Y_t + u_t (спрос),

Q_tS =Q_tD (равновесие).

Цена товара, Рt и спрос на товар Q_t = Q_tD = Q_tS определяются из уравнений модели, то есть являются эндогенными переменными Объясняющими переменными в данной модели являются доход Yt и значение цены товара в предыдущий момент времени Р_t-1.

Проблема идентификации для эконометрических моделей в виде системы одновременных уравнений.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификации – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. Проблема идентификации существует только для системы одновременных уравнений.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффици­енты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число парамет­ром структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Пример:

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Пример

Модель содержит восемь структурных коэффициентов, что соответствует выражению n • (n— 1 + т).Структурная модель полном виде, содержащая п эндогенных и т предопределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.

 

58. Эконометрические модели в виде систем линейных одновременных уравнений (СЛОУ): примеры и проблема оценивания параметров структурной формы (на примере макромодели Кейнса).

Отдельные регрессионные уравнения системы в качестве предопределённых переменных могут включать как объясняющие переменные, та и объясняемые переменные из других уравнений. Такие системы называются системами одновременных уравнений.

Две проблемы: проблема идентифицируемости, проблема оценивания параметров уравнений.

Рассмотрим вторую проблему. Существо этой проблемы рассмотрим на примере модели Кейнса.

Данная модель имеет вид:

Запишем приведенную форму этой модели:

Рассматривая эти уравнения, мы констатируем, что Y является линейной функцией случайного остатка U. Поэтому значение Y коррелирует со значением случайного остатка(). Следовательно, в рамках модели Кейнса оказывается нарушенной последняя предпосылка теоремы ГМЭ. Можно показать, что нарушение этой предпосылки порождает несостоятельность оценок параметров , , ни МНК, ни ВМНК, ни ОМНК.

59. Необходимое условие идентифицируемости поведенческого уравнения модели СЛОУ (правило порядка). Сверхидентифицируемость параметров поведенческого уравнения.

Линейная модель одновременных уравнений (ЛМОУ).

- эндогенные, G – их количество

- предопределенные, К – кол-во

В компактной записи модели квадратная м-ца А=(а_ij) состоит из коэф-тов при эндог пер-х и предполагается невырожденной. i-е поведенческое ур-е модели может быть разрешено относительно пер-й , при этом справедливо рав-во: =1. Оно именуется условием нормализации.

Теорема. Пусть в ситуации (1.2) i-е поведенческое ур-е модели (1.1) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство К-Ki>Gi-1 (17.29)

где К_i, — количество предопределенных переменных модели, вхо­дящих в г-с уравнение; G_i — количество эндогенных переменных модели, входящих в i-е уравнение модели.

Рассматривая неравенство (17.29), можем сказать, что если i-c поведенческое уравнение модели (1.1) идентифицируемо, то количество К – К_i, предопределенных переменных, не входящих в данное уравнение, по крайней мере на единицу больше количества G, эндогенных переменных, входящих в это уравнение.

Замечание. Подчеркнем, что справедливость неравенства (17.29) является необходимым условием ндешифицируемостн i-io уравнения. Это значит, что когда неравенство (17.29) несправедливо, га i-e уравне­ние заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (17.29) еще нельзя сделать выводи об идентифицируемости данного урав­нения. Так, условие (17.29), именуемое правилам порядка, позволяет выявлять неидентифицируемыс уравнения модели (17.22), но не дает возможности отмечать ее идентифицируемые уравнения. Такую воз­можность доставляет критерий (необходимое и достаточное условие), рассмотренный ниже.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента.

Пример:

Структурная модель всегда представляет собой систему сон местных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутству­ющих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Правило ранга.

Чтобы сформулировать критерий идентифицируемости i-ro урав­нения (1.1), потребуется понятие ограничений на его коэффициенты.

Определение 17.1. Ограничениями на коэффициенты i-ro урав­нения модели (1.1) называется система из однородных линей­ных алгебраических уравнений

(17.30)

которым априорно удовлетворяет вектор (17.31)

коэффициентов i-го уравнения модели (1.1).

Итак, полагаем, что для i-го поведенческого уравнения модели (1.1) построена матрица R_i ограничений (17.30), состоящая из L_i строк и G + К столбцов. Подчеркнем, что Li < G + К. Добавим, что L_i — количество переменных модели (1.1), не входящих в i-e уравнение.

Обозначим символом

= (А|В) (17.36)

расширенную матрицу ЛМОУ. Матрица (17.36) содержит G строк и G+ К столбцов. Элементами i-й строчки матрицы (17.36) являются компоненты вектора (17.31). Все готово для формули­ровки критерия идентифицируемости поведенческих уравнений модели (1.1) из линейных одновременных линейных уравнений.

Теорема 17.2. В ситуации (1.1) i-е уравнение модели (1.1) из линейных одновременных уравнений идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство

rk() = G-l, (17.37)

где rk() — ранг произведения матриц .

Доказательство этого важного для эконометрики утверждения, именуемого правилам ранга, предлагается получить в процессе