Назначение экономико-математических моделей (ЭММ).

Назначение экономико-математических моделей (ЭММ).

Эконометрика – наука, дающая количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Базируется на экономической теории, экономической статистике, экономических измерениях, математико-статистическом инструментарии и предназначена для построения эконометрических моделей, которые используются для оценивания и прогнозирования значений экономических переменных, недоступных для измерения.

Основная цель: модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, изученными в экономической теории.

Экономико-математическая модель объекта – это математически выраженная связь между его экономическими переменными (набор графиков или таблиц), система математических уравнений (или неравенств), связывающая воедино экономические переменные объекта. Говорят, что модель предназначена для объяснения эндогенных (те, которые создаются в модели – «y» короче:)) переменных при помощи экзогенных (наоборот, которые были известны – «х» то бишь) переменных.

Задачи: Обнаружение и анализ закономерностей в экономике; построение на базе выявленных закономерностей эконометрических моделей.

Два принципа спецификации эконометрических
моделей и их формы

Первый принцип спецификации эконометрической модели заключается в том, что спецификация модели возникает в результате перевода на математический язык экономических утверждений, причем привлекаются, по возможности, линейные алгебраические функции (Или коротко после преобразования модели к математическому языку).

Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включённых в модель.

Типы уравнений в ЭММ: поведенческие уравнения и тождества (на примере макромодели).

Экономическим объектом служит закрытая экономика. Ее состояние в текущем периоде t описывается переменными (Yt, Ct, It). Требуется составить спецификацию макромодели, позволяющей объяснять отмеченные выше переменные

Вот спецификация:

C=a0+a1*Y

Y=C+I

0<a1<1

 

2. Типы переменных в экономических моделях. Структурная и приведённая форма модели (на примере макро­модели). Компактная запись.

Лаговые и предопределённые переменные динамической модели.

· Предопределенные – текущие и лаговые экзогенные переменные, выступают в роли-факторов-аргументов или объясняющих переменных.

· Лаговыми называются экзогенные и эндогенные переменные экономических моделей, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, имеющие лаговые переменные, называются дискретными.

Модель Линтнера корректировки размера дивидендов.

Пусть p_t – текущая прибыль фирмы на акцию после уплаты налогов (в литературе по управлению финансами эта величина традиционно обозначается аббревиатурой EPS_t), D_t – дивиденды на акцию, которые фирма выплачивает своим акционерам в текущем периоде (традиционное обозначение DPS_t). Известный американский экономист Дж. Линтнер, анализируя дивидендную политику фирм, сформулировал в 1956 г. следующие утверждения:

«У фирмы имеется долгосрочная целевая доля γ текущей прибыли и соответствующий этой доле уровень дивидендов (желаемый уровень), которые фирма хотела бы выплачивать своим акционерам. Текущий уровень реальных дивидендов, D_t является средневзвешенным значением желаемого объема текущих дивидендов, и их реального уровня в предшествующем периоде, D_t-1».

Спецификация модели:

- время, - коэффициент корректировки

 

Компактная запись.

Запишем модель в компактном виде. Для этого введем векторы

соответственно текущих эндогенных переменных и предопределенных переменных модели. Тогда модель предстанет в компактной записи с матрицами:

4. Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей. Эконометрическая модель Самуэльсона–Хикса делового цикла экономики. Компактная запись.

Спецификация и преобразование к приведённой форме эконометрических моделей.

Существует 2 принципа спецификации (подробного описания) эконометрических моделей.

Первый принцип спецификации эконометрической модели заключается в том, что спецификация модели возникает в результате перевода на математический язык экономических утверждений, причем привлекаются, по возможности, линейные алгебраические функции.

Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включённых в модель.

Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведённой форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведённая форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных пе­ре­менных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели совпадает с приведённой.

Свойства

1. Операции ковариации и корреляции симметричны относительно своих аргументов;

2. Ковариация и корреляция между независимыми переменными равны 0;

3.

4. ;

5. ;

6.

7.

 

12. Случайная переменная и закон её распределения. Закон распределения Фишера. Квантиль, F крит уровня и её расчёт в Excel.

Опр1. Случайная величина Функция называется случайной величиной на вероятностном пространстве , .

Опр2. Случайной называют переменную которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые невозможно заранее учесть.

Опр3. Переменная x с областью изменения X называется случайной, если свои возможные значения q из множества X переменная x принимает в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами вида .

Закон распределения – функция скалярного аргумента q, определенная на всей числовой прямой, характеризующую объективную возможность появления в опыте значений q случайной переменной x.

Полной характеристикой СП служит её дифференциальный закон распределения (ЗР). Так называется функция скалярного аргумента q, определённая на всей числовой прямой, характеризующая объективную возможность появления в опыте значений СП x. Если x – ДСП, то

Для дискретной величины

Для непрерывной величины

Закон распределения Фишера

F распределение , где , – независимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы и .

Плотность , где

Или

(с неотрицательной областью изменения

, Г(n+1)=n!, а и соответственно натуральные числа (параметры закона Фишера).

 

Случайная переменная (СП) x именуется дискретной (ДСП), если множество X состоит из конечного или счётного количества констант qi, то есть

X = {q1, q2,..., qn }.

Если же X есть некоторый интервал числовой прямой, конечный или бесконечный, то есть

X = (a, b), то СП x называется непрерывной (НСП).

Пусть - две независимые случайные переменные, имеющие распределение с числом степеней свободы n и m.

Случайная переменная называется дробью Фишера, эта величина распределена по закону Стьюдента. Это позволяет при любом альфа вычислить , удовлетворяющее уравнению

 

также называется t _крит уровня Это двухсторонний квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы n.

Эту величины также можно вычислить с помощь Excel, используя функцию FРАСПОБР по аргументам .

 

13. Случайный вектор и его основные количественные характеристики (на примере вектора левых частей схемы Гаусса – Маркова при гомоскедастичном неавтокоррелированном остатке).

Рассмотрим набор случайных переменных . Этот упорядоченный набор называется случайным вектором и обозначается :

(1)

Его основными характеристиками служат:

1) Вектор ожидаемых значений компонент:

так называют вектор констант, компоненты которого – мат. ожидания компонент вектора .

2) Ковариационная матрица:

(2)

По главной диагонали располагаются дисперсии компонент случайного вектора. Недиагональные элементы это ковариации компонентов. Например, - это дисперсия компоненты вектора (1). Элемент - это ковариация компонент и вектора (1) Матрица является симметричной.

 

ЛММР

Объясняющие переменные в общем случае не зависят от случайного остатка . Данная модель является базовой моделью эконометрики, потому что к такому виду может быть трансформирована практически любая эконометрическая модель в виде изолированного уравнения.

 

19. Схема Гаусса-Маркова (на примере модели Оукена).

Модель Оукена:

t=1,2,...

где w_t - темп прироста безработицы в году t,

y_t - темп роста ВВП

 

Пусть в рамках исследуемой модели величины связаны следующим образом:

, причём

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова (). Вот компактная запись этой схемы

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

 

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной w_t модели, расширенная столбцом единиц; наконец,

– вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений W предопределенной переменной w_t

Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Линейные стат. процедуры. Требования к наилучшей стат. процедуре.

Пусть имеется выборка

значений переменных x и y модели

Данная выборка получена на этапе наблюдения и предназначена для оценивания параметров модели

В рамках данной модели величины (*) связаны следующей СЛАУ:

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы .

где - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

 

- вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t;

- матрица известных значений предопределенной переменной x исходной модели, расширенная столбцом единиц (при наличии a₀);

Наконец, – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим . Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным при помощи некоторой статистической процедуры, отразим:

где f (·, ·) – символ процедуры.

Данная процедура именуется линейной относительно вектора значений эндогенной переменной y_t, если: .

, где матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений X предопределенной переменной х_t.

 

Класс таких всевозможных линейных процедур оценивания по исходной выборке вектора обозначим символом F.

Наилучшая процедура f* (·, ·) из выбранного класса процедур F должна генерировать оценку , которая обладает одновременно двумя свойствами:

, i=0,1 (эффективности).

21. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство а.

Нам необходимо отыскать процедуру M(X), трансформирующей вектор в вектор наилучших оценок коэффициентов. Тогда наша задача построить , удовлетворяющим двум условиям оптимальности.

Из предпосылок (1), (4), а также свойств ковариации следует, что

Cov(

Также (11) можно представить в виде

Или . (12)

Теперь рассмотрим требование о минимальной дисперсии.

(из свойства Var(ax+by)= )

Тогда получим следующую задачу

Решив задачу получим

Подставим в(9) и получим (13)

Теперь сопоставляя (10) и (13) получим

ЧТД

 

22. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод выражения Cov .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство в.

Рассмотрим процедуру Эйткена

С учетом и (теорема Фишера),

Где M = , получим (9)

В том случае, когда выполнены (2),(3), то , тогда (9) превращается в (7)

 

23. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод свойства обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК),

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1) Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3) Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда: a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8) где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Доказательство.

Если вектор случайных возмущений в уравнениях наблюдений имеет произвольную ковариационную матрицу (остатки гетероскедастичны и коррелированны), то оптимальная линейная процедура оценивания параметров линейной модели множественной регрессии именуется обобщённым методом наименьших квадратов (или процедурой Эйткена) и определяется формулами:

. (1) (2)

M = , (3) . (4)

Обратимся к схеме Гаусса-Маркова и перепишем её по-другому:

На время будем здесь рассматривать вектор как переменный, тогда вектор оказывается функцией (аффинным преобразованием) вектора . Далее, по правилу

(5)

образуем квадратичную (сложную) функцию вектора .

Нас интересует ответ на вопрос: при каком же значении переменного вектора функция (5) достигает своего безусловного минимума? Ответ находится, очевидно, в итоге решения следующей задачи на безусловный экстремум

.

Можно проверить, что единственным решением служит именно вектор . Это обстоятельство и проясняет причину упомянутого выше названия данной процедуры – обобщённый метод наименьших квадратов.

Подставим значение = вектора в ,

результат подстановки обозначим

, где (9.37)

В частном случае, когда , величина имеет особенно простой вид:

= = ESS,

так что свойство наименьших квадратов обосновано.

 

24. Теорема Гаусса-Маркова – Эйткена. Вывод оценки дисперсии единицы веса, .

Теорема (Гаусс, Марков, Эйткен). Пусть матрица X уравнений наблюдений размера n (k+1), где n>(k+1), обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют 4-м условиям:

E(u₁) = E(u₂) =... = E(u_n) = 0, (1)

Var(u1)=..=Var(un)=σ2 (2)

Cov(ui,uj)=0, i≠j (3)

Cov(x_mi,u_j) = 0 при всех значениях m=1,…k; i и j. (4)

Тогда:

a) наилучшая линейная процедура (9.12) имеет вид

(5)

б) линейная несмещённая эффективная оценка (9.21) обладает свойством наименьших квадратов

(6)

в) ковариационная матрица оценки (9.21) вычисляется по правилу

; (7)

г) несмещённая оценка параметра s2модели находится по формуле:

(8)

где (k+1) – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии.

Перепишем схему Гаусса-Маркова в следующем виде:

Рассмотрим величину (квадратичная сложная форма вектора а); она зависит, очевидно, от выборки, а значит является случайной переменной. Какие количественные характеристики имеет эта переменная? Можно доказать (делать этого здесь не будем), что

Получается, что величина

(*)

служит несмещённой оценкой константы . Заметим, что при формула (*) превращается в выражение

При условии, что

( для парной регрессии )

Так ; ; и с использованием ковариационных правил, можно доказать, что

(для множественной регрессии аналогично)

 

Правило ранга.

Чтобы сформулировать критерий идентифицируемости i-ro урав­нения (1.1), потребуется понятие ограничений на его коэффициенты.

Определение 17.1. Ограничениями на коэффициенты i-ro урав­нения модели (1.1) называется система из однородных линей­ных алгебраических уравнений

(17.30)

которым априорно удовлетворяет вектор (17.31)

коэффициентов i-го уравнения модели (1.1).

Итак, полагаем, что для i-го поведенческого уравнения модели (1.1) построена матрица R_i ограничений (17.30), состоящая из L_i строк и G + К столбцов. Подчеркнем, что Li < G + К. Добавим, что L_i — количество переменных модели (1.1), не входящих в i-e уравнение.

Обозначим символом

= (А|В) (17.36)

расширенную матрицу ЛМОУ. Матрица (17.36) содержит G строк и G+ К столбцов. Элементами i-й строчки матрицы (17.36) являются компоненты вектора (17.31). Все готово для формули­ровки критерия идентифицируемости поведенческих уравнений модели (1.1) из линейных одновременных линейных уравнений.

Теорема 17.2. В ситуации (1.1) i-е уравнение модели (1.1) из линейных одновременных уравнений идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство

rk() = G-l, (17.37)

где rk() — ранг произведения матриц .

Доказательство этого важного для эконометрики утверждения, именуемого правилам ранга, предлагается получить в процессе

Назначение экономико-математических моделей (ЭММ).

Эконометрика – наука, дающая количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Базируется на экономической теории, экономической статистике, экономических измерениях, математико-статистическом инструментарии и предназначена для построения эконометрических моделей, которые используются для оценивания и прогнозирования значений экономических переменных, недоступных для измерения.

Основная цель: модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, изученными в экономической теории.

Экономико-математическая модель объекта – это математически выраженная связь между его экономическими переменными (набор графиков или таблиц), система математических уравнений (или неравенств), связывающая воедино экономические переменные объекта. Говорят, что модель предназначена для объяснения эндогенных (те, которые создаются в модели – «y» короче:)) переменных при помощи экзогенных (наоборот, которые были известны – «х» то бишь) переменных.

Задачи: Обнаружение и анализ закономерностей в экономике; построение на базе выявленных закономерностей эконометрических моделей.

Два принципа спецификации эконометрических
моделей и их формы

Первый принцип спецификации эконометрической модели заключается в том, что спецификация модели возникает в результате перевода на математический язык экономических утверждений, причем привлекаются, по возможности, линейные алгебраические функции (Или коротко после преобразования модели к математическому языку).

Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включённых в модель.

Типы уравнений в ЭММ: поведенческие уравнения и тождества (на примере макромодели).

Экономическим объектом служит закрытая экономика. Ее состояние в текущем периоде t описывается переменными (Yt, Ct, It). Требуется составить спецификацию макромодели, позволяющей объяснять отмеченные выше переменные

Вот спецификация:

C=a0+a1*Y

Y=C+I

0<a1<1

 

2. Типы переменных в экономических моделях. Структурная и приведённая форма модели (на примере макро­модели). Компактная запись.