Рабочие характеристики математических моделей

Хорошая математическая модель теплообмена должна соответствовать следующим требованиям:

· точность расчетов;

· адаптированность результатов;

· универсальность структуры;

· экономичность реализации.

Разберем характеристики моделей, отражающие эти требования.

1. Точность расчета чаще всего оценивают через погрешность в абсолютных величинах

(2.1)

 

или в относительных единицах

 

(2.2)

 

где Y_расч..и Y_ист. – приближенное (расчетное) и истинное значение исследуемого параметра.

Эта погрешность может быть вызвана следующими причинами:

а) с неучетом в модели отдельных связей и параметров реальной печи;

б) с недостатками метода численной реализации модели;

в) с ошибками округления при большом числе вычислительных операций;

г) с невнимательностью расчетчика.

Последняя причина (г) определяет возникновение случайной по­грешности. Остальные причины (а-в) могут дать, так называемую, систематическую погрешность. Из систематической погрешности, по­грешность, связанная с (а), является модельной, а связанная с (б) и (в) – вычислительной. Случайная и вычислительная погрешности, которые присутствуют в результатах расчета по модели, поддаются выявлению и оценке с помощью тестовых примеров, составленных для идеализированных случаев. При этом случайная погрешность должна быть исключена, а вычислительная – уменьшена до минимума. Что касается модельной погрешности, то она косвенно учитывается и нейтрализуется при проведении процедуры адаптации (см. ниже) путем введения в модель настроечных коэффициентов. Если после проведения процедуры адаптации модельная погрешность недопустимо высока, то можно сделать вывод о том, что модель не отражает реальную природу процесса и что погрешность в какой-то степени носит случайный характер.

2. Адаптированность результатов

При согласовании результатов расчета с экспериментальными (реальными) данными исходят из того, что и те и другие содержат некоторую погрешность. Так, результаты расчета содержат погрешность из-за несовершенства и ограниченности математической модели, что является недостатком любой сложной модели. Экспериментальные данные имеют погрешность из-за недостаточной точности приборов, ошибок измерения и наличия неконтролируемых факторов, мешавших проведению замеров. По этим причинам, прежде чем сопоставлять расчет с экспериментом, надо оценить погрешность экспериментальных замеров, например, через дисперсию эксперимента – Д_э.

Когда сравнивают расчет с экспериментом, то вводят понятие адекватности (соответствия). При хорошем согласовании расчета и эксперимента говорят: "модель адекватно описывает процессы в реальной печи (или другом объекте)". Численным показателем соответствия расчетных и экспериментальных данных может служить дисперсия адекватности – Д_а или другие оценочные величины (подробнее в разд. 11). Дисперсия адекватности должна примерно соответствовать дисперсии эксперимента Д_а» Д_э.

Если в результате проверки на адекватность получилось, что модель не адекватна экспериментальным данным, то надо пересмотреть и уточнить подход к составлению модели. Если же Д_а << Д_э, то надо или заменить модель на более грубую, или увеличить точность экспериментальных замеров.

3. Универсальность структуры

Простота внесения изменений и дополнений в модель определяется уровнем универсальности модели. Достаточно универсальная модель строится на модульном подходе. Она состоит из набора небольших самостоятельных моделей, называемых модулями (подробнее в разд. 3).

4. Экономичность реализации

Последняя важная характеристика математических моделей это экономичность, т.е. малый объем математических операций при расчете по этой модели. Экономичность моделей способствует не только экономии машинного времени, но и повышает точность расчета за счет уменьшения ошибок округления. Лучше всего, если математическая модель может быть реализована в процессе ручных вычислений. Но таких моделей сейчас практически не осталось, т.к. обычно простота моделей соответствует низкой точности результатов расчета. Одновременно с усложнением моделей разрабатываются новые схемы вычислений, называемые экономичными, и новые методы расчета по этим экономичным схемам. Например, при моделировании задач теплопроводности методом конечных разностей приходится решать систему алгебраических уравнений специального вида, для которых разработан экономичный метод прогонки (разд. 6).