Простейшие численные методы решения О.Д.У.

О.Д.У. можно решить многими методами. Не касаясь аналитических методов, применимых для ограниченного класса О.Д.У., отметим, что наиболее распространены следующие численные методы: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Ограничимся рассмотрением метода Эйлера, имеющего 1-й порядок точности. Достоинство метода в наглядности и простоте реализации. Как и большинство численных методов, метод Эйлера основывается на разложении искомой функции (т.е. температуры) в ряд Тейлора. Если функция раскладывается в ряд в окрестности точки (см. рис. 4.1), то в точке разностной сетки функция будет равна

 

, (4.12)

 

где j – номер шага по времени; – величина шага по времени.

Теперь отбросим в уравнении (4.12) члены ряда 2-го порядка и выше в силу их малости по сравнению с членами ряда 1-го порядка (при достаточно малых ). Получим приближенное равенство

 

. (4.13)

 

Для перехода к равенству вводим сеточную функцию приближенного решения – :

 

. (4.14)

 

В соответствии с (4.4) О.Д.У. в точке j имеет вид

(4.15)

Подставив (4.15) в (4.14), окончательно получим, так называемую, явную схему Эйлера:

или (4.16)

Из этой формулы вытекает, что значение температуры на новом шаге по времени (j+1) вычисляется по значению температуры на текущем шаге. т.е. в явном виде. Отсюда и название схемы: явная.

Пример 1. Найти закон изменения температуры стальной заготовки диаметром Д, нагреваемой конвекцией в печи, если температура печных газов изменяется по закону , °C, где – время нагрева, с; °С/с.

Исходные данные: Д = 2 R = 0,025 м; R = Д/2 = 0,0125 м; плотность – r = 8000 кг/м³; удельная теплоемкость – C = 600 Дж/(кг×К); коэффициент теплоотдачи – a = 30 Вт/(м² К); коэффициент теплопроводности – l = 30 Вт/(м²×К); начальная температура – Т₀ = 0 С.

Решение. Проверим, является ли тело термически тонким. Для этого найдем критерий Био:

 

.

 

Т.к. Bi < 0,1, то тело можно отнести к термически тонким [1].

Процесс нагрева конвекцией термически тонкого тела описывается уравнением

,

 

где V и S – объем и площадь поверхности нагреваемого тела; Т – температура тела.

Отсюда

,

 

где .

 

Если раскроем выражение для , то получим

 

, (4.17)

 

Для решения уравнения (4.17) относительно температуры нагреваемого тела Т используем явную схему Эйлера (4.16). Для этого сначала строим разностную сетку. Принимаем, допустим, 5 шагов по времени, т.е. N = 5. Тогда величина шага будет равна

 

с,

 

В соответствии с обозначениями (4.16), имеем

 

,

где j = 1,2,..., N.

Таким образом перешли от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения . Теперь ничто не мешает напрямую использовать выражение (4.16) для последовательного нахождения температуры в зависимости от времени

 

°С;

°С;

°С;

°С;

°С.

 

Результаты расчета сводим в таблицу 4.1.

В данном случае линейное изменение температуры печных газов но времени приводит к линейному увеличению температуры металла.

Проверка. Подставим полученную зависимость температуры металла от времени

Т = t (4.18)

 

в исходное уравнение (4.17). Получим

 

или 1 º 1.

 

Это тождество показывает, что полученное численным методом решение (4.18) верно.

 

Таблица 4.1 Результаты численного решения задачи нагрева ТТТ

Время, с
Температура металла, °С
Температура газов, °С

 

Приведенный пример показывает, как довольно просто можно найти численное решение любого обыкновенного дифференциального уравнения с использованием явной схемы Эйлера.

Кроме явной схемы Эйлера существует неявная схема. Она выводится почти аналогично явной, но с небольшими особенностями. Первичное разложение функции температуры в ряд Тейлора производят в окрестности точки . В этом случае в точке функция будет иметь вид

(4.19)

 

Здесь, также как и в (4.12), j – номер шага по времени; – шаг по времени.

Отсюда, пренебрегая членами ряда 2-го порядка и выше, а также переходя от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения по алгоритму (4.13-4.15), получим

или . (4.20)

 

Выражение (4.20) отражает неявную схему Эйлера. Видно, что температура на (j+1)-м шаге по времени входит и в левую, и в правую часть уравнения (4.20) или, как говорят, получена в неявном виде. Для получения решения этого уравнения, в общем случае являющегося трансцендентным, надо использовать один из итерационных методов.