Простейшие численные методы решения О.Д.У.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Простейшие численные методы решения О.Д.У.



О.Д.У. можно решить многими методами. Не касаясь аналитических методов, применимых для ограниченного класса О.Д.У., отметим, что наиболее распространены следующие численные методы: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Ограничимся рассмотрением метода Эйлера, имеющего 1-й порядок точности. Достоинство метода в наглядности и простоте реализации. Как и большинство численных методов, метод Эйлера основывается на разложении искомой функции (т.е. температуры) в ряд Тейлора. Если функция раскладывается в ряд в окрестности точки (см. рис. 4.1), то в точке разностной сетки функция будет равна

 

, (4.12)

 

где j – номер шага по времени; – величина шага по времени.

Теперь отбросим в уравнении (4.12) члены ряда 2-го порядка и выше в силу их малости по сравнению с членами ряда 1-го порядка (при достаточно малых ). Получим приближенное равенство

 

. (4.13)

 

Для перехода к равенству вводим сеточную функцию приближенного решения – :

 

. (4.14)

 

В соответствии с (4.4) О.Д.У. в точке j имеет вид

(4.15)

Подставив (4.15) в (4.14), окончательно получим, так называемую, явную схему Эйлера:

или (4.16)

Из этой формулы вытекает, что значение температуры на новом шаге по времени (j+1) вычисляется по значению температуры на текущем шаге. т.е. в явном виде. Отсюда и название схемы: явная.

Пример 1. Найти закон изменения температуры стальной заготовки диаметром Д, нагреваемой конвекцией в печи, если температура печных газов изменяется по закону , °C, где – время нагрева, с; °С/с.

Исходные данные: Д = 2 R = 0,025 м; R = Д/2 = 0,0125 м; плотность – r = 8000 кг/м3; удельная теплоемкость – C = 600 Дж/(кг×К); коэффициент теплоотдачи – a = 30 Вт/(м2 К); коэффициент теплопроводности – l = 30 Вт/(м2×К); начальная температура – Т0 = 0 С.

Решение. Проверим, является ли тело термически тонким. Для этого найдем критерий Био:

 

.

 

Т.к. Bi < 0,1, то тело можно отнести к термически тонким [1].

Процесс нагрева конвекцией термически тонкого тела описывается уравнением

,

 

где V и S – объем и площадь поверхности нагреваемого тела; Т – температура тела.

Отсюда

,

 

где .

 

Если раскроем выражение для , то получим

 

, (4.17)

 

Для решения уравнения (4.17) относительно температуры нагреваемого тела Т используем явную схему Эйлера (4.16). Для этого сначала строим разностную сетку. Принимаем, допустим, 5 шагов по времени, т.е. N = 5. Тогда величина шага будет равна

 

с,

 

В соответствии с обозначениями (4.16), имеем

 

,

где j = 1,2, ..., N.

Таким образом перешли от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения . Теперь ничто не мешает напрямую использовать выражение (4.16) для последовательного нахождения температуры в зависимости от времени

 

°С;

°С;

°С;

°С;

°С.

 

Результаты расчета сводим в таблицу 4.1.

В данном случае линейное изменение температуры печных газов но времени приводит к линейному увеличению температуры металла.

Проверка. Подставим полученную зависимость температуры металла от времени

Т = t (4.18)

 

в исходное уравнение (4.17). Получим

 

или 1 º 1.

 

Это тождество показывает, что полученное численным методом решение (4.18) верно.

 

Таблица 4.1 Результаты численного решения задачи нагрева ТТТ

Время, с
Температура металла, °С
Температура газов, °С

 

Приведенный пример показывает, как довольно просто можно найти численное решение любого обыкновенного дифференциального уравнения с использованием явной схемы Эйлера.

Кроме явной схемы Эйлера существует неявная схема. Она выводится почти аналогично явной, но с небольшими особенностями. Первичное разложение функции температуры в ряд Тейлора производят в окрестности точки . В этом случае в точке функция будет иметь вид

(4.19)

 

Здесь, также как и в (4.12), j – номер шага по времени; – шаг по времени.

Отсюда, пренебрегая членами ряда 2-го порядка и выше, а также переходя от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения по алгоритму (4.13-4.15), получим

или . (4.20)

 

Выражение (4.20) отражает неявную схему Эйлера. Видно, что температура на (j+1)-м шаге по времени входит и в левую, и в правую часть уравнения (4.20) или, как говорят, получена в неявном виде. Для получения решения этого уравнения, в общем случае являющегося трансцендентным, надо использовать один из итерационных методов.



Последнее изменение этой страницы: 2016-12-27; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.179.111 (0.008 с.)