Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения и неразрывности
Согласно основной идее метода конечных разностей, непрерывные пространственные переменные х и у заменяются на ряд дискретных узлов с координатами: по х: х1, х2, х3, …, хi, …, хN по y: y1, y2, y3, …, yj, …, yM. Расстояние между соседними узлами называется шагом: и . В соответствии с этой заменой получаем разностную сетку как показано на рис. 7.2. На рис. 7.2 вместо координат узлов х1, х2, … и y1, y2, … условно приведены только номера узлов 1, 2, … Дискретные величины скорости и температуры определяются на пересечении координат и . Эти дискретные величины называются сеточными функциями точного решения. Математическая сущность метода конечных разностей заключается в том, что интегрирование дифференциальных уравнений (7.1-7.2) заменяется решением системы алгебраических уравнений для отдельных узлов. Эта замена вносит погрешность в определение функции скорости и поэтому в дальнейших рассуждениях переходят от сеточной функции точного решения к сеточной функции приближенного решения: ; ; .
Рис. 7.2. Разностная сетка для расчета пограничного слоя
Теперь еще до составления разностных схем условимся, что составляющую скорости по оси х будем определять из уравнения движения, а по оси у – из уравнения неразрывности. Есть две формы аппроксимации дифференциального уравнения движения: по явной и неявной схеме. Я вная схема для узла с координатами ij имеет вид: . (7.8) Отсюда легко (в явном виде) выражается через известные скорости на текущем шаге "i". Схема условно устойчива. Условие устойчивости напоминает подобное условие для уравнения теплопроводности и имеет вид: или . (7.9) Если сравнивать схему (7.8) со схемами аппроксимации уравнения теплопроводности, то можно заметить, что в данном случае мы находим изменение функции (скорости) не во времени, а в пространстве – вдоль оси х. Явная схема (7.8) может быть значительно усилена, если первые сомножители в слагаемых левой части отнести не к текущему "i"-му узлу, а к промежуточному "i+1/2"-узлу: . (7.10) Правда, в этом случае придется включать в решение итерационный алгоритм, т.е. каждый расчет должен включать в себя ряд последовательных уточнений , , а также где K – номер итерации. При K=1 предполагается, что и . В дальнейшем эти величины уточняются в зависимости от скорости , выражаемой из (7.10):
. (7.11) Итерационные уточнения заканчиваются при выполнении приближенного равенства (7.12) Аппроксимация дифференциального уравнения движения по неявной схеме подобна явной за одним отличием: и отнесены не к текущему i-му узлу, а к последующему - "i+1"-му. . (7.13) Неявная схема (7.13) безусловно устойчива и потому получила наибольшее распространение. Тем более, что эта схема позволяет при расчетах использовать высокоэффективный метод прогонки (см. разд. 5.3.1). Явная и неявная схемы имеют первый порядок точности по x и 2-й порядок по у. С целью повышения порядка точности по x до второго может быть применена комбинированная схема (7.14)
При =0 имеем неявную схему, при =1- явную и при =0,5--схему Кранка-Николсона. Схема Кранка-Николсона рекомендуется к применению в 1-ю очередь, т.к. она безусловно устойчива и имеет 2-й порядок точности по х и по у. Вместе с уравнением движения следует рассматривать и уравнение неразрывности. Конечно, его можно аппроксимировать относительно узла с координатами и в таком простом виде: Однако это будет неточно. Обычно производную представляют в виде полусуммы "разностей вперед". В этом случае я вная схема имеет вид (7.16) Отсюда легко находится значение при известных значениях и, предварительно определенных из уравнения движения. Н еявная схема аппроксимации уравнения неразрывности более точная и поэтому явная схема обычно не используется. Принципиаль-аых отличий неявная схема имеет немного: (7.17)
Алгоритм расчета и по явной и по неявной схеме строится "от стенки", т.е. при известном поле "и" и при известном значении "V" на стенке (из граничных условий) из (7.16) или (7.17) легко выражается значение "V в следующем узле от стенки. По найденному значению "V определяется из (7.16) или (7.17) значение "V в еще более дальнем от стенки узле и т.д., пока не будут определены все значения "V поперек потока.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-27; просмотров: 367; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.225.35.224 (0.03 с.) |