Основные численные методы расчета нагрева в печи термически тонких тел

Изучение методов численного моделирования теплообмена лучше начинать с разбора методов расчета нагрева твердых термически тонких тел (ТТТ), поскольку это наиболее простые методы, лежащие и основе более сложных методов, описанных в последующих разделах, касающихся теплопроводности и конвекции.

Представим себе абстрактную печь, в которой на поду лежит заготовка, обладающая свойством термически тонкого тела и нагреваемая конвекцией и излучением. Такая заготовка может представлять из себя, например, медный пруток. Напомним, что термически тонким телом называют тело, при нагреве которого можно пренебречь перепадом температур в объеме этого тела. Важнейшим выводом этого определения будет равенство среднемассовой температуры и температуры поверхности тела. Последнее замечание позволяет рассматривать процесс нагрева только во времени, исключая из анализа процесс теплопроводности.

Пусть температуры кладки и газа рассматриваемой печи постоянны в процессе нагрева и равны Т_кл и Т_г соответственно. Причем газ возьмем лучепрозрачным. Тогда процесс нагрева можно описать в виде дифференциального уравнения

, (4.1)

где – удельная теплоемкость заготовки, зависящая от температуры, Дж/(кг К); – масса заготовки, кг; – приведенный коэффициент излучения в системе тел "кладка-металл", Вт/(м²×К⁴); – площадь теплообменной поверхности металла, м²; – тепловой поток потерь в окружающую среду, Вт.

Левая часть уравнения представляет собой приращение энтальпии тела, а правая часть – результирующий тепловой поток на заготовку. Т.е по своей сути уравнение является обычным балансовым соотношением. В математике уравнение (4.1) называют обыкновенным дифференциальным уравнением (О.Д.У.).

Для того, чтобы задача нагрева была определена во времени, нужно задаться начальным условием

. (4.2)

 

Из системы уравнений (4.1-4.2) требуется определить температуру металла в любой момент времени. Несмотря на свою внешнюю простоту, задача в общем виде не может быть решена аналитически и поэтому для ее решения используют численные методы.

В частном случае, когда температуры тел, участвующих в теплообмене, не изменяются во времени и производная в левой части (4.1) равна нулю, система дифференциальных уравнений (4.1-4.2) превращается в алгебраическое уравнение

. (4.3)

Поскольку в уравнении (4.3) неизвестная температура металла присутствует в 1-й и одновременно в 4-я степени, то это уравнение является нелинейным и поэтому решается одним из итерационных методов (метод половинного деления, метод Ньютона и др.), изложенных в справочной литературе по математике.