Резольвентно-зональный метод расчета лучистого теплообмена в замкнутой системе тел

Сразу оговоримся, что название "резольвентно-зональный метод"[16] не является общепринятым. В литературе встречаются и другие названия: "обобщенный зональный метод"[13], "резольвентный зональный метод"[2] и др.

Метод был разработан Ю.А. Суриновым в 1959 году. Этот метод имеет несомненные преимущества перед классическим зональным методом:

а) предполагает отказ от рассмотрения эффективного излучения, как промежуточной вычисляемой величины и напрямую связывает результирующее излучение и температуры отдельных зон замкнутой системы;

б) позволяет единообразно описывать теплообмен не только между поверхностными, но и объемными зонами;

в) позволяет использовать одни и те же уравнения для решения прямой и обратной задачи излучения.

При рассмотрении резольвентно-зонального метода ограничимся двумерной пространственной областью, как показано на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Схема распространения излучения с зоны j на зону i с учетом отражения от соседних зон

Поток результирующего излучения определяется в соответствии с выражением (9.5)

Если в соответствии с зональным методом находили в пропорции от

(9.24)

то в соответствии с резольвентно-зональным методом , находим в пропорции от

(9.25) где - поток падающего излучения с зоны на зону с учетом многократных отражений излучения зоны от остальных зон системы (рис. 9.2): - так называемый, разрешающий угловой коэффициент (Р.У.К.).

В отличие от геометрического углового коэффициента Р.У.К. является оптико-геометрической характеристикой, т.к. кроме геомет­рических свойств системы учитывает многократные отражения /16/. Физический смысл Р.У.К. можно пояснить соотношением

т.е. Р.У.К. - это доля эффективного излучения зоны , попавшая на зону с учетом многократных отражений от соседних зон, отнесенная к собственному излучению зоны . Р.У.К. может изменяться от нуля до бесконечности.

В системе тол с диатермичной средой Р.У.К. определяется из системы уравнений

N

(9.27) Таким образом, система уравнений включает уравнений с неизвестными. При большом числе зон ( 100-200) система уравнений получается огромной и поэтому в процессе ее решения велика вероятность получения значительной вычислительной погреш­ности определения . В этом один из основных недостатков резольвентно-зонального метода по сравнению с зональным методом. Систему уравнений можно уменьшить почти вдвое, если использовать свойства Р.У.К.:

а)свойство взаимности

(9.28)

б)свойство замыкаемости

Свойство взаимности позволяет рассчитывать из системы уравне-ний (9.27) только половину разрешающих угловых коэффициентов, а остальную половину определить, используя соотношение (9.29). Поскольку при решении системы уравнений неизбежно появляется вычислительные погрешности (в результате округлений чисел), то в дальнейшем, используя свойство замыкаемости (9.29), проверяют и уточняют .

Теперь вернемся к рассмотрению уравнения (9.23), определяю­щего . Подставим в (9.23) выражение (9.25). Получим

(9.30) Это основное расчетное уравнение. Его можно преобразовать через температуры зон в виде

(9.31)

или (9.32)

где А - так называемые, коэффициенты радиационного обмена /7/.

Уравнение (9.32) наиболее часто используется при описании процессов лучистого теплообмена.

Если резольвентно-зональным методом решать прямую задачу излучения, то это делается элементарно по уравнению (9.32) при заданных температурах зон т. и при определенных .

Немного сложнее решать обратную и смешанную задачи. Для этого надо составлять систему из линейных уравнения с неизвестными. В этих уравнениях для зон с известными потоками результирующего излучения неизвестными являются температуры зон в четвертой степени (уравнение (9.32)) или потоки собственного излучения (уравнение (9.30)).

На практике редко решаются задачи чисто лучистого теплообмена в описанных выше постановках. Обычно приходится решать задачи сопряженного теплообмена, когда в балансовых уравнениях зон включаются слагаемые, характеризующие конвекцию и теплопровод­ность. Например, для зон кладки печи, с учетом того, что

уравнение (9.32) трансформируется к виду

(9.34)

где - коэффициент теплопередачи через кладку: - темпера­тура окружающей среды за пределами рабочего пространства; --температура продуктов горения в печи: - коэффициент теплоотдачи от продуктов горения к зоне кладки.

Если неизвестны температуры зон. а известна, например, (обратная задача), то система уравнений типа (9.34) является нелинейной. Нелинейность возникает из-за того, что температура присутствует в (9.34) одновременно в первой и в четвертой степени. Наиболее эффективными методами решения полученной системы нелинейных уравнений признаны метод Ньютона и его модификации (метод Ньютона-Канторовича и др.)/17/, т.е. известные стандартные методы. Специальных методов, которые бы учитывали специфику уравнения (9.34), пока не разработано.