Основные соотношения, описывающие движение газов в замкнутом объеме

Для простоты иллюстрации методов ограничимся рассмотрением двумерных задач. Кстати, это наиболее распространенные задачи.

Движение газов описывается уравнением Навье-Стокса и урав­нением неразрывности,

Нестационарное уравнение Навье-Стокса в двумерной области разбивается на 2 уравнения: по оси х:

и по оси у:

 

где - составляющие вектора скорости по оси х и оси у соот­ветственно; - давление газов; - коэффициент кинематической вязкости; - плотность газов.

Уравнение неразрывности имеет вид:

 

(8.3)

Эти уравнения (8.1-8.3) справедливы для любой точки объема печи. Фактически, нами составлена система из трех уравнений с неизвестными.

Начальные и граничные условия зависят от конкретной конфигу­рации расчетной области. Например, для самой простой конфигурации рабочего пространства печи все задаваемые краевые условия приведены на рис. 8.1.

Из рис. 8.1 видно, что скорости и в выходном сечении не задаются, поскольку они должны быть определены из решения.

Если сделать анализ уравнений (8.1-8.3), то можно заметить, что эту систему можно свести к системе 2-х уравнений, из которой будет исключена переменная " ". Это можно сделать заменой переменных. Такой прием сулит большие облегчения при расчетах, т.к. во многих практических задачах знать поле давлений в печи необязательно. Главное - это поле скоростей.

Рис. 8.1. Граничные условия при расчете скоростного поля в ограниченном объеме

Делаем замену переменных через, так называемые, функцию тока-- и завихренность - о. Замена скорости через функцию тока происходит по соотношениям

(8.4)

Правильность этой замены проверим, подставив (8.4) в уравне­ние неразрывности

(8.5) Получили тождество, значит замена верна.

Функция завихренност и имеет следующую связь со скоростью и функцией тока

Теперь, если взять производную от левой и правой частей уравнения (8.1) по "у", а уравнения (8.2) по "х", а затем почленно сложить полученные выражения, то после замены переменных получим:

Уравнение (8.7) имеет название: у равнение переноса вихр я. Оно имеет градиентную форму записи для векторного поля.

Чаще применяют, так называемую, дивергентную форму записи

Переход от (8.7) к (8.8) не совсем очевиден, он доказывается от обратного:

 

Получили, что левая часть (8.7) равна левов части (8.8). При выводе учитывалось соотношение (8.3).

8.2. Конечно-разностные методы расчета в переменных "функция тока-завихренность"

Уравнение переноса вихря в дивергентной форме (8.8) будем

решать относительно о методом конечных разностей. Согласно этому

методу, непрерывные области изменения переменных х, у и
заменяются на ряд дискретных точек (Узлов)

: у,

:

Расстояние между узлами называется шагом и обозначается ах, у и соответственно:

 

Графически эта замена представлена в виде разностной сетки на рис. 8.2. При построении сетки взята конфигурация печи рис. 8.1.

Математически метод конечных разностей заключается в замене интегрирования дифференциального уравнения (8.8) системой алгеб-шческих уравнения, записанных для каждого узла разностной сетки, поскольку при такой замене возникает погрешность, то получить точное значение функции в узлах очень трудно. При расчетах оперируют сеточными функциям и приближенного решения. Сделаем сле-тощие замены:

- сеточные функции приближенного решения.

 

Рис. 8.2. Разностная сетка для расчета скоростного поля в ограниченном объеме

Для решения используется неявная локально-одномерная схема. Явная схема в задачах движения практически не используется из-за чрезвычайно жестких условий по устойчивости расчета.

В соответствии с локально-одномерной схемой исходное диффе­ренциальное уравнение аппроксимируется двумя алгебраическими урав­нениями вида (см. разд. 5.6.1):

по оси х:

 

 

и по оси у:

 

(8.11) Из системы уравнений, подобных (8.10), определяется

промежуточное поле при 2,3 -1 и =2,3 М-1, а

из системы уравнений, подобных (8.11), - окончательное значение. Для решения системы уравнений по оси х, а затем и по оси у используется метод прогонки.

После того, как определили поле завихренности - в (п+1)-а момент времени, можно определить поле функции тока -. Для этого у нас есть соотношение (8.6).

 

Из этого уравнения на то* же разностной сетке (рис. 8.2) опре­деляется стационарное поле, соответствующее найденному ранее полю. Как известно, расчет стационарного многомерного поля сложнее нестационарного из-за трудностей с получением быстро-сходимого решения. Поэтому для решения уравнения (8.12) используем следующий прием: добавляем в левой части член, где "к" является аналогом времени.

Аппроксимируем полученное уравнение по продольно-поперечной неявной схеме: по оси х:

 

(8.13) по оси у:

где - номер итерации; - итерационный параметр.

В уравнениях (8.13) и (8.14) не следует путать индексы " " и " ". Индекс " " используется Олеко при определении функции тока.

Система уравнений, подобных (8.13) и (8.14). записанных для каждого узла разностной сетки, в сочетании с граничными условиями, решается методом прогонки сначала по оси х, а затем по оси у при =0,1,2,... Число последовательных итераций " " сильно зависит от величины итерационного параметра. Условием получения решения уравнения (8.12) является следующее:

(8.15)

при 1,2,..., и 1,2,...М, где - малая величина, имеющая смысл допустимой погрешности расчетов.

После определения полей завихренности и функций тока легко находятся поля скоростей в (п+1)-й момент времени:

- составляющая скорости по оси х

(8.16)

- составляющая скорости по оси у

При необходимости расчета давления газов в объеме печи его можно выразить из уравнения Навье-Стокса, записанного по одному из направлений в конечно-разностном виде.

Кроме всего сказанного надо запомнить, что моделировать в переменных " " надо осторожно, т.к. полученные модели могут быть применены только в двумерной области и не могут быть использованы для анализа трехмерных течений газов.