Неявная конечно-разностная схема

Неявная схема отличается от явной только тем, что производные по пространственной переменной отнесены к последующему моменту времени – (n+1), а не к текущему

 

при . (5.13)

 

На рис. 5.2 приведены фрагменты разностной сетки, иллюстрирующие с помощью, так называемых, четырехточечных шаблонов (выделены толстыми линиями) определение температуры на последующем шаге по времени.

 

Рис. 5.2. Шаблоны для определения температуры в (n+1)-й момент времени

 

Можно заметить, что неявная схема не позволяет в явном виде выразить температуру через известные температуры в соседних узлах. Поэтому уравнение (5.13) записывают для всех узлов сетки по сечению тела, за исключением граничных: первого и N-го. Уравнения для граничных узлов берутся из граничных условий, которые мы будем рассматривать позже. В общей сложности образуется система из N уравнений с N неизвестными температурами на (n+1) шаге по времени. Эту систему можно решить любым стандартным методом. Но дело в том, что любой метод здесь меньше всего подходит. Для решения данной системы уравнений разработан специальный метод, который назвали "метод прогонки". В иностранной литературе этот метод называется "алгоритм Томаса"[9].

Довольно сложный алгоритм решения уравнения теплопроводности по неявной схеме в сравнении с явной схемой оправдан, т.к. неявная схема безусловно устойчива и позволяет анализировать поле температур при любом сочетании шагов разностной сетки.

Метод прогонки

Метод прогонки является самым экономичным методом для решения систем уравнений подобных (5.13).

Представим (5.13) в следующем формализованном виде:

 

при (5.14)

 

где ; ; ; ; .

Здесь индексы (n+1) опущены для простоты записи.

В уравнении (5.14) только три неизвестные: , , . Это определяет специфический вид матрицы связанных коэффициентов в системе уравнений (5.14). В матричной форме система уравнений имеет вид

 

,

где для N равного, например, 5

 

; ; .

 

Матрица коэффициентов , (-B_i) и C_i носит название разреженной 3-х диагональной, поскольку она заполнена нулями кроме 3-х главных диагоналей. В этом, кстати, ограниченность метода прогонки: он может применяться при решении систем уравнений только с 3-х диагональной матрицей связанных коэффициентов.

Теперь предположим, что между температурами в соседних узлах существует линейная зависимость

 

, (5.15)

 

где и – некоторые коэффициенты.

Подставив (5.15) в (5.14), получим уравнение с двумя неизвестными и

. (5.16)

 

Отсюда в виде линейной зависимости легко выражается через

 

, (5.17)

 

т.е. предположение (5.15) подтвердилось.

Из аналогии (5.17) и (5.15) можно найти коэффициенты и :

 

; (5.18)

(5.19)

 

Коэффициенты a_i и b_i называются прогоночными коэффициентами и они находятся во всех узлах разностной сетки по рекуррентным формулам (5.18) и (5.19).

Порядок решения систем уравнений, подобных (5.14), следующий: сначала определяются из граничных условий коэффициенты a₁ и b₁. Затем по выражениям (5.18) и (5.19) коэффициенты a₂, b₂; a₃, b₃ и т.д. до a_N-1, b_N-1. Эта часть алгоритма называется прямой прогонкой. Далее из граничных условий на противоположной границе находится температура t_N и по формуле (5.15) обратной прогонкой последовательно определяются температуры в узлах сетки от (N-1) до 1:

 

; ; …; ; … .

 

Преимущества метода прогонки перед другими методами – экономичность. Это означает, что при расчетах по этому методу требуется выполнить минимальное число арифметических операций. Например, по методу Гаусса число операций , а по методу прогонки . Так, если число узлов по сечению тела N = 100, то по методу Гаусса получим порядка 1 000 000 арифметических действий, а по методу прогонки – всего 1 000.