Проверка адекватности и адаптация моделей

В процессе создания и реализации любой математической модели несколько раз приходится проверять ее пригодность к использованию и достоверность получаемых результатов. Можно выделить 3-и этапа проверки:

а) после создания логической блок-схемы;

б) после создания отдельных модулей (подпрограмм):
в) после создания объединенной программы.

На стадии (а) проверяется логичность связей в блок-схеме, правильность используемых уравнений и размерности всех величин, входящих в эти уравнения.

На стадии (б) тестируются отдельные модули (подпрограммы), представляющие собой небольшие самостоятельные части программы. При этом проверяется соответствие результатов уже известным данным. Полезным является составление диагностических тестовых программ, представляющих крайне упрощенные модели (эмпирическое уравнение или, в крайнем случае» примерное значение выходного параметра). Таким образом, определяются модули, выдающие абсурдные результаты. На этой стадии нельзя вносить в модули поправочные или уточняющие коэффициенты, Вердикт по этим частям программы может быть одним из двух: годна программа для дальнейшего использования или нет.

На стадии (в) проверяется достоверность всей модели, вопло-ценной в виде программы. Это самая сложная стадия, которой и посвящен материал этого раздела.

При работе с математическими моделями надо осторожно подхо-дить к оценке результатов. Следует запомнить в виде постулата, что ни одна, сколько-нибудь сложная модель, не даст в чистом виде. т.е. без подгонки, результатов, совпадающих с экспериментом.

Соответствие расчетных и экспериментальных данных оценивают по допустимому расхождению. В этом случае говорят об адекватности расчетных. данных экспериментальным. Если модель неадекватно отражает реальные процессы, зафиксированные в эксперименте, то необходимо провести проц е дуру адаптаци и модели по достоверным дан-ным. Русским аналогом слову "адаптация" является "приспособле­ние". В идеальном случае адаптационный алгоритм закладывается в самой программе. На практике получается, что процедура адаптации является кропотливым творческим процессом, при котором трудно рекомендовать единообразный подход к моделированию печей различных конструкций. Технически процедура адаптации заключается в поиске подгоночных или настроечных коэффициентов для отдельных характе-ристик печных процессов, которая обеспечит адекватность расчетных данных экспериментальным по основным технологическим параметрам (температура металла, температура продуктов горения, расходы топлива и т.п.).

Кроме входных и выходных переменных модель теплообмена в обязательном порядке включает вспомогательные параметры, которые были определены кем-то ранее в результате экспериментальных иссле­дований (теплофизические свойства материалов, коэффициенты излуче­ния, коэффициенты теплоотдачи конвекцией и др.). Введение в модель настроечных коэффициентов, определяемых экспериментально для конк­ретной печи, эквивалентно уточнению значений этих вспомогательных параметров. По существу сами вспомогательные параметры или часть их являются настроечными коэффициентами, а процедура адаптации сводится к численному решению обратной задачи математической физики. Задачу определения настроечных коэффициентов можно также свести к обычной задаче составления эмпирического уравнения заранее заданной структуры.

Например, если решение задачи получено в явном виде, то наи­лучшие настроечные коэффициенты такой модели могут быть определены из условия минимизации целевой функции

N

(11.1)

где - входная переменная (например/время и др.); - вспомо­гательный параметр (или настроечный коэффициент); расчет­ное значение технологического параметра (например, температура металла или др.): - экспериментально найденное значение того же параметра; - число сопоставлений. - число Запись (11.1) подразумевает использование метода наименьших

квадратов /17/ ЛЛЯ выполнения УСЛОВИЯ.

Если аналитического решения задачи нет или оно громоздко, то можно определять настроечные коэффициенты модели, используя методы оптимального планирования экстремальных задач/19/. В этом случае за поверхность отклика берется функция (11.1), а за исходную точку варьирования вспомогательных параметров (теплофизические свойства, коэффициенты теплоотдачи) берутся наиболее достоверные значения из литературных данных.

Рассмотренные выше подходы позволяют найти настроечные коэф­фициенты при наличии одной целевой функции (чаще всего связан­ной с температурой металла). Если из расчета по модели определяет­ся несколько технологических параметров, то нужно использовать обобщенные целевые функции, точно также как в задачах оптимизации, когда трудно выбрать один из нескольких возможных критериев опти­мальности. Например,

 

где - весовой коэффициент, определяющий приоритет той или другой частной целевой функции: и - частные целевые функции, свя­занные, например, с температурой металла ж расходом топлива соот­ветственно.

Удобной и универсальной характеристикой при оценке адекват­ности является относительное средвеквадратическое отклонение

(11.2)

где - относительное отклонение

расчетного значения, исследуемого параметра (с учетом вве­денных ранее настроечных коэффициентов) от экспериментального при одинаковых условиях " " - число условий, при которых

сопоставляются - математическое

ожидание относительного отклонения исследуемого параметра.

В выражении (11.2) следует принять равным нулю, т.к. только в этом случае имеет смысл сравнивать результате введения настроечных коэффициентов должно быть в первую очередь обеспечено условие.

Величина должна быть меньше некоторой наперед заданной малой величины " ". Обычно для оценки температуры металла в процессе нагрева считают, что должно быть от 0,5% до 2%, а для. оценки расхода топлива от 2% до 10% в зависимости от погрешности эксперимента. В этом случае модель будет адекватно описывать экспериментальные данные.

В большинстве задач расчета нагрева материала в печах удобнее производить оценку адекватности по величине дисперсии адекватности абсолютных значений параметров

 

где - отклонение расчетного значения какого-либо технологического параметра от экспериментального при одинаковых условиях " " после проведения процедуры адаптации;

N

- математическое ожидание отклонения параметра.

 

По тем же причинам, что и в (11.2),. Величина должна быть связана с дисперсией эксперимента. Необходимо, чтобы Если «, или, то расчетные данные неадекватны экспериментальным данным. В такой ситуации возможны три выхода:

а)модель не годится для описания конкретного объекта и надо создавать новую более точную модель;

б) необходимо провести уточняющие эксперименты с меньшей пог-"решностыо замеров;

в) надо пересмотреть процедуру адаптации модели путем введения новых или исключения используемых настроечных коэффициентов.

Строго говоря, сравнение дисперсия и надо делать через -критерий Фишера/20/, который позволяет проверить гипотезу о равенстве дисперсий и с заранее заданной надежностью. Тогда в результате проверки на адекватность ответ должен звучать так: "с доверительной вероятностью 90%(или 95%) и числе степеней свободы определения дисперсии адекватности =... и дисперсии эксперимента =... модель адекватна (или неадекватна) эксперименту".

Покажем процесс определения настроечных коэффициентов на примере камерной печи.

11.1. Математическая модель нагрева металла в камерной печи

Разберем последовательные этапы составления и адаптации математической модели. Для простоты примем, что металл. нагреваемый в печи конвекцией, является термически тонким телом.

Тогда процесс нагрева тела описывается следующей моделью

(11.3)

где коэффициент пропорциональности; - коэффициент теп­лоотдачи; - коэффициент формы тела; - плотность тела; с- удель­ная теплоемкость тела; к- определяющий размер тела; т - темпера­тура продуктов горения в печи; т- температура тела; - время нагрева. Начальное условие

(11.4)

Считаем, что. Решение этой задачи относи­тельно температуры металла может быть получено аналитически путем интегрирования

(11.5)

 

Отсюда (11.6)

или (11.7)

Точность получаемых результатов (т) зависит от. Из них и могут быть заданы достаточно точно и проверены в процессе эксперимента.

Процедура адаптации легко может быть проведена с использова­нием соотношения (11.1) путем объявления комплекса вспомогательных параметров " " настроечным коэффициентом. Но поскольку, как было сказано, процесс адаптации является творческим процессом, дадим другие более простые алгоритмы.

Для адаптации нашей модели можно предложить два алгоритма:

а)на основе непосредственного замера температуры нагреваемого ела термопарами в течение одного периода нагрева;

б) на основе замеров температуры металла в конце нагрева (при выдаче) на нескольким заготовках.