Многомерные задачи теплопроводности

Для простоты разберем двумерную задачу теплопроводности. В этом случае температурное поле внутри тела описывается уравнением теплопроводности вида

. (5.27)

 

где ; ;

при соответствующих граничных условиях, например, типа

 

; (5.28)

 

и при начальных условиях, типа

 

. (5.29)

 

Точно также, как и при рассмотрении одномерных задач, будем искать численные соотношения только для уравнения теплопроводности (5.27). В соответствии с основной идеей метода конечных разностей непрерывная область изменения пространственных переменных " " и " " и временной переменной " " заменяется на ряд дискретных узлов с координатами:

 

по : ;

по : ;

и по : .

 

Расстояние между узлами называется шагом и обозначается и и временной переменной . Таким образом, шаги можно определить так:

 

; ; .

 

Разностную сетку, т.е. графическое изображение совокупности узлов, для многомерных задач представить довольно тяжело. Обычно для двумерной задачи на разностной сетке отсутствует координата по времени, но она подразумевается (рис. 5.3).

 

Рис. 5.3. Разностная схема для двумерной задачи теплопроводности

 

Проведем разностную аппроксимацию уравнения (5.27) в окрестности узла с координатами (i, j, n). Тогда при замене сеточных функция точного решения на сеточную функцию приближенного решения получим

 

, (5.30)

 

Это явная разностная схема. Название схемы связано с тем. что из (5.30) в явном виде выражается неизвестное значение температуры через известные значения , , , , – определенные на текущем шаге по времени. Схема является условно устойчивой. Условие устойчивости для двумерной задачи имеет вид:

 

или . (5.31)

 

В частном случае, когда , получим

 

. (5.32)

 

Таким образом, условие устойчивости для многомерных задач по сравнению с одномерными (5.12) более жесткое.

Представим теперь уравнение теплопроводности (5.27) в неявном конечно-разностном виде. Для этого вторую производную по пространству отнесем к последующему (n+1)-му моменту времени. Получим

 

. (5.33)

 

Очевидно, что неизвестными в (5.33) являются пять величин: , , , , . В этом случае, чтобы определить температуру во всех узлах разностной сетки на (n+1)-м шаге по времени надо решать систему уравнений подобных (5.33), записанных для каждого узла. Вид системы уравнений специфический. Матрица коэффициентов перед неизвестными температурами носит название пятидиагональной. Следовательно, для решения системы уравнений не может быть применен метод прогонки и приходится пользоваться иными методами (метод исключения Гаусса, метод определителей и др.), что нежелательно в силу их неэкономичности. Напомним, что неэкономичность может привести к значительной вычислительной погрешности в результате округлений чисел, а также к увеличению времени расчета на ЭВМ.

Для того, чтобы уменьшить объем вычислительных операций, раз­работаны схемы и методы, при реализации которых на ЭВМ объем ариф­метических операций пропорционален числу уравнений – , а не как у обычных методов. Такие схемы называются экономичными. Из них наиболее распространены локально-одномерная схема и продольно-поперечная схема. Они основаны на замене многомерной разностной схемы системой одномерных разностных схем.

Локально-одномерная схема

Локально-одномерная схема позволяет свести уравнение (5.33) к двум одномерным уравнениям:

а) по направлению х:

 

(; ). (5.34)

 

б) по направлению у:

 

(; ). (5.35)

 

Порядок расчета по этой схеме следующий:

1. Сначала находится значение фиктивной температуры на промежуточном (n+1/2) шаге по времени. Для этого методом прогонки решается система уравнений подобных (5.34) совместно с граничными условиями по направлению "х".

2. Далее, исходя из известного поля фиктивных температур окончательно находится поле температур на (n+1)-м шаге . Для этого методом прогонки решается система уравнений (5.35), записанных по направлению "у". Естественно, что в систему уравнений должны быть включены два уравнения из граничных условий (при j = 1 и при j = N).

Несколько коротких характеристик схемы:

а) она самая экономичная из известных на сегодняшний день схем, имеющих погрешность ;

б) схема является сходящейся и безусловно устойчивой.

Продольно-поперечная схема

Данная схема родилась из локально-одномерной с целью увеличения скорости сходимости последней. Подход к ее формированию напоминает подход, изложенный в схеме Кранка-Николсона для одномерных задач.

Продольно-поперечная схема представляет из себя аппроксимацию уравнения теплопроводности в следующем виде:

а) по направлению "х":

 

(5.36)

при i = 2,3,...,N-1; j = 1,2,...,M.

 

б) по направлению "у":

 

(5.37)

при j = 2,3,...,M-1; i = 1,2,...,N.

 

Последовательность расчета та же, что и для реализации локально-одномерной схемы. Схема является безусловно устойчивой.

 

Погрешность схемы ~ . Если сравнивать локально-одномерную и продольно-поперечную схемы по экономичности расчета на одном шаге по времени, то локально-одномерная более эффективна. Но если принимать во внимание требуемое число шагов по времени и соответствующее числу шагов число арифметических операций для достижения одинаковой точности результатов, то продольно-поперечная схема имеет несомненные преимущества.