Общие понятия численных методов при моделировании нагрева ТТТ

Для придания общности последующим рассуждениям приведем урав­нение (4.1) к следующему формализованному виду [15]

при , (4.4)

где . (4.5)

Начальное условие остается прежним (4.2). Понятно, что, если изменится вид результирующих тепловых потоков на металл или будут другие изменения в записи баланса (4.1), то они будут отражены только в функции (4.5). Вид записи (4.4) останется неизменным.

Будем называть уравнение (4.4) общей формой обыкновенного дифференциального уравнения (О.Д.У.). Несколько забегая вперед, отметим, что численное решение ОДУ заключается в замене производной ее дискретным аналогом. При этом непрерывная область изменения независимой переменной заменяется множеством дискретных (фиксированных) значений, которые называются узлами сетки, наносимой на температурную диаграмму нагрева (рис. 4.1).

 

Рис. 4.1. Температурная диаграмма нагрева с сеточной дискретизацией по времени

 

Для равномерной сетки . Здесь – шаг сетки

, (4.6)

где N – число узлов сетки не включая начальный.

Кроме равномерных сеток существуют неравномерные сетки, т.е. сетки, в которых шаг зависит от номера узла. В этом случае время нагрева определяется следующим образом

.

 

Для простоты изложения материала будем рассматривать только равномерные сетки.

Таким образом, после формирования сетки вместо задачи отыскания непрерывной функции Т(t) получаем задачу нахождения функции T_j, определенной только в узлах сетки – j. Величина Т_j называется сеточной функцией точного решения.

При численном решении дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим по соотношениям

 

, (4.7)

 

где символ О(Dt) используется для обозначения порядка малой величины. Этот символ является первой буквой слова Ordo (порядок – лат.)

Если пренебречь малой величиной О(Dt), то этим вносится погрешность и точного решения в узлах получить практически невозможно. Любое решение будет приближенным. Поэтому, вводится понятие: сеточная функция разностного решения, которую обозначим t_j.

Таким образом, если мы хотим найти решение дифференциального уравнения численным методом, то точного решения (T_j) не получим, а получим приближенное решение (t_j) в узлах разностной сетки. Естественно, что погрешность численного решения равна разности между точным и приближенным значением функции

 

. (4.8)

 

Погрешность численного решения (e_j) зависит от того, каким способом (методом) перешли от дифференциального уравнения к алгебраическому. Разные методы определяют и разный вид алгебраических уравнений. Систему алгебраических уравнений, решаемую относительно t_j (j = 1,2,...,N), называют разностной схемой. Разностные схемы бывают сходящиеся и расходящиеся. Расходящиеся схемы являются недопустимыми для расчетов, т.к. погрешность расчетов по этим схемам при уменьшении шага по времени возрастает или, по крайней мере, не уменьшается.

Если при и

, (4.9)

то схема является расходящейся. Решение можно получить только на сходящейся схеме, т.е. когда при имеем

 

. (4.10)

 

Понятно, что мы должны стремиться к созданию и использованию сходящихся разностных схем. Т.о. погрешность численного решения () зависит от шага изменения независимой переменной времени – . Чем меньше , тем меньше . Связь между и задают в следующем виде:

 

, (4.11)

 

где А – коэффициент пропорциональности (А = const); p – параметр, имеющий свое особое название – порядок точности.

Порядок точности характеризует скорость убывания погрешности или скорость сходимости решения при измельчении разностной сетки. Так. если уменьшить в 2 раза, то, в случае р = 3, погрешность уменьшится в 8 раз. Следовательно, чем выше порядок точности, тем меньше погрешность. Порядок точности зависит от вида разностной схемы. Обычно, чем сложнее разностная схема, тем выше порядок точности и, соответственно, меньше погрешность численного решения. В тепловых расчетах нагрева ТТТ в промышленных печах достаточно иметь 2-й порядок точности, а нередко – даже 1-й порядок.