Устойчивость разностной схемы Эйлера

Как отмечалось в разделе 4.1, разностные схемы бывают сходящимися и расходящимися. Сходимость схемы связана с погрешностью аппроксимации схемы и зависит от вида разностной схемы. Однако малая погрешность аппроксимации еще не гарантирует получения решения. При определенных условиях в процессе вычислений может возникнуть неустойчивость решений. Пример неустойчивого решения показан на рис. 4.2.

Разностные схемы называются устойчивыми, если малые погрешности, допущенные в процессе расчетов (округление и т.п.), затухают или остаются малыми при неограниченном увеличении числа шагов по времени [10].

В данном случае на рис. 4.2 численное решение представляет из себя функцию во времени с быстро нарастающей амплитудой колебаний. С уменьшением шага можно убрать колебательный характер решения. Важно также помнить, что неустойчивость может возникнуть только при использовании явной схемы и определенных шагах , где – порог устойчивости. Поэтому явные схемы получили название условно устойчивых. Неявные схемы Эйлера безусловно устойчивы.

 

Рис. 4.2. Изменение температуры материала во времени при использовании неустойчивой разностной схемы: 1 – точное решение; 2 – численное решение по неустойчивой схеме Эйлера

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (НАГРЕВ ТЕРМИЧЕСКИ МАССИВНЫХ ТЕЛ)

При решении задач нагрева термически массивных тел рассматривают системы с пространственно-временными полями температур, т.е. когда температуры изменяются не только во времени, но и в объеме тел. В этом отличие процесса нагрева термически массивных тел от процесса нагрева термически тонких тел.

Задачи теплопроводности описываются дифференциальными урав­нениями в частных производных по пространству и времени с соот­ветствующими начальными и граничными условиями. Особенность решения этих задач методом конечных разностей по сравнению с другими численными методами в том, что дискретизация дифференциальных уравнений, т.е. перевод уравнений в алгебраический вид, производится на исходных уравнениях без какой-либо промежуточной обработки. Таким образом, составляется система алгебраических уравнений, решаемая относительно искомых температур в дискретных узлах во времени и пространстве. При этом результат решения является приближенным с заданной степенью точности.

Основные понятия теории разностных схем

Основная идея метода конечных разностей заключается в том, что непрерывная область изменения пространственной и временной переменных заменяется конечным числом дискретно расположенных узловых точек:

по пространству:

и по времени:

Расстояние между узлами называется шагом. Например, – шаг по координате, – шаг по времени.

Для случая одномерной задачи набор узловых точек представлен на рис. 5.1. Такая система узловых точек, соединенных между собой, называется разностной сеткой. Каждый узел сетки имеет свои координаты (i, n) или (), при которых определяется температура.

Если шаг сетки по пространству и по времени равномерный, то текущие значения координат определяются из соотношений

 

; (5.1)

.

Рис. 5.1. Разностная сетка для одномерной задачи теплопроводности

 

Для неравномерной сетки шаг по времени и пространству может изменяться произвольным образом. Этот случай мы не рассматриваем.

Покажем как перейти от производной к ее алгебраическому аналогу, используя разностную сетку. По определению производной, если есть непрерывная и дифференцируемая функция, то ее производная будет равна

 

, (5.2)

 

где – изменение функции, соответствующее малому приращению координаты – ; – малая величина, имеющая порядок .

Таким образом, производная определяется параметрами в соседних, достаточно близких, точках (узлах) пространства. Если принять, что в (5.2) является шагом разностной сетки (рис. 5.1), то получим

 

..(5.3)

 

При аппроксимации производной величиной пренебрегают, что дает погрешность аппроксимации. Это, в свою очередь, не позволяет получить точное значение температуры в узлах разностной сетки. Поэтому взамен сеточной функции точного решения "Т" вводят сеточную функцию разностного решения "t".

Существуют 3-и основных способа представления производных по пространству в точке i:

разность "назад" (левая разность)

 

(5.4)

 

разность "вперед" (правая разность)

 

(5.5)

и центральная разность

(5.6)

 

Аппроксимируя производную по времени в точке "n", всегда берут разность "вперед" или разность "назад"

 

или , (5.7)

 

т.к. при использовании центральной разности расчет неустойчив. Вторую производную чаше всего представляют в виде:

 

. (5.8)

 

Такие понятия, как погрешность численного решения (), разностная схема, сходимость, устойчивость схем, порядок точности и другие, описанные в разделе 4, сохраняются и при использовании метода конечных разностей для аппроксимации дифференциальных уравнении в частных производных.

Так, разности "вперед" и "назад" (5.4, 5.5, 5.7) имеют погрешность, пропорциональную соответствующему шагу в 1-я степени (1-й порядок точности), а центральная разность (5.6) – шагу во 2-й степени (2-й порядок точности). Аппроксимация второй производной в виде (5.8) также имеет 2-й порядок точности.