Тепловой поток. Закон теплопроводности Фурье

Температурный градиент

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, называют изотермической поверхностью. Эти поверхности не пересекаются и заканчиваются либо внутри тела, либо на его поверхности. Скорость изменения температуры вдоль определённого направления характеризует градиент температуры.

Предел отношения изменения ΔТ к расстоянию между изотермами по нормали Δn называется градиентом температуры:

, (1.2)

где – единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности, направленный в сторону возрастания температуры.

Из математики известно, т.к. объёмная производная скалярного поля является его градиентом, то для температурного поля эта производная будет градиентом температуры

,

где V – объём, заключённый внутри поверхности F;

F – поверхность;

Ñ – символический вектор (оператор Набла или Гамильтона, а также это дивергенция вектора или ротация)

. (1.3)

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной по данному направлению, [K/м]. Так как поле температурного градиента векторное, то символический вектор градиента

, (1.4)

где , , – координаты градиента;

, , – единичные векторы, имеющие направление координатных осей.

5. Регулярный режим нагревания (охлаждения) тел

Регулярный- режим нагрев/охлажд с постоянным темпом нагрев/охлажд

Темп нагрев/охлажд- относительная скорость изменения темпер в теле

(1)

Решение для тел любой формы имеет одинаковую структуру (сумма бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспонентам). Например, для пластины:

(2)

коэффициент Ai не зависит ни от координат, ни от времени и находится из начальных условий

является функцией координаты (х). Экспонента убывает пропорционально времени t. Комплекс – темп охлаждения.

Тогда (2) примет вид:

(3)

m – постоянное число причём оно будет изменятся в зависимости от номера индекса i. Причём m1 < m2 < m3 < … < mn.

При малых значениях t (рис. 9.10) распределение температуры внутри тела зависит от начального распределения температуры в теле. В этом случае температурное поле будет определяться не только первым членом (3) но и последующими. Первый период охлаждения, при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры в теле, называется неупорядоченной стадией охлаждения.

С увеличением времени последующие члены ряда (3) будут быстро убывать, т.е. ряд станет сходящимся. С момента начальные условия начнут играть второстепенную роль, и процесс охлаждения полностью определяется только граничными условиями на границе тела и среды, физическими свойствами тела, его геометрической формой и размерами, и температурное поле описывается первым членом ряда.

. (4)

Логарифмируя (4) и опуская индексы получаем:

, или . (5)

Из (5) следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для изменяется по линейному закону (рис. 9.10). При длительном охлаждении (t®¥, Fo®¥), все точки охлаждаемого тела будут иметь температуру, равную температуре окружающей среды, наступает стационарное состояние. Рассмотрим вторую стадию охлаждения (регулярный режим). После дифференцирования левой и правой части (5) по времени мы получим, что:

Темп охлаждения характеризует относительную скорость изменения температуры в теле в зависимости от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Регулярный режим охлаждения характеризуется постоянным темпом охлаждения m во всех точках тела независимо от координаты и времени.

Если экспериментально определить изменение избыточной температуры во времени и построить зависимость в полулогарифмических координатах (рис. 9.10), то из неё для случая регулярного режима можно определить:

Зависимость m от физических свойств тела, его геометрических размеров и условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса тела.

Изменение энтальпии тела равно потоку теплоты:

(9.16)

где r – плотность тела, ;

V – объём тела, м³;

Jv – средняя по объёму избыточная температура тела, К, °С;

t – время, c.

За тоже время dt вся теплота должна быть отведена с поверхности тела в окружающую среду за счёт теплоотдачи

, (9.17)

где – средний коэффициент теплоотдачи на поверхности тела.

.

Приравнивая (9.16) и (9.17) получаем:

.

Учитывая, что , и разделив левую и правую части уравнения на , получаем:

. (9.18)

Слева в (9.18) – темп охлаждения. Если обозначить через , то получим первую теорему Кондратьева: . (9.19)

Темп охлаждения или относительная скорость изменения температуры в теле прямо пропорционален среднему коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела F и обратно пропорционален теплоёмкости тела.

Коэффициент пропорциональности y называется коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле. Он зависит от условий охлаждения на поверхности тела, т.е. от числа Bi.

Рассмотрим два случая:

1) Bi®0 ().

В этом случае и распределение температуры в теле не зависит от размеров и физических свойств тела, поэтому усреднённая температура по поверхности будет равна усреднённой температуре по объёму , следовательно .

2) Bi®¥ ().

a®¥, и температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды, следовательно, , коэффициент неравномерности температуры .

При Bi®¥ (a®¥) темп охлаждения m становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности a:

, (вторая теорема Кондратьева) (9.20)

Коэффициент К зависит от геометрической формы и размерности тела.

Для однородной пластины: ; Þ .

Трансцендентное уравнение для пластины было:

; при Bi®¥; ; .

В (9.9) последующие корни не меньше чем предыдущие

Р₁ > Р₂ > Р₃ > …

Для пластины коэффициент пропорциональности K

,

где d – толщина пластины

Коэффициент пропорциональности для шара:

.

Коэффициент пропорциональности для параллелепипеда:

.

Коэффициент пропорциональности для цилиндра конечной длины .

На основной теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методы определения теплофизических характеристик a, l, c. ;

Для определения коэффициента теплопроводности l, используется l-калориметр в виде шара. Создаются условия теплообмена с конечным a; как правило, охлаждение на воздухе. При этих условиях определяется темп охлаждения.

3) При свободном движении температура жидкости в пограничном слое изменяется от – до – , а скорость от нуля у стенки до максимума. На большом удалении от стенки скорость снова равна нулю. Скорость движения среды определяют характер (режим) движения – плёночный, ламинарный или турбулентный. С изменением характера движения изменяется и теплоотдача.

Режим движения классифицируется в зависимости от числа Релея

(1)

где – число Грасгофа;

– число Прандтля;

Интенсивность теплоотдачи при естественной конвекции характеризуется коэффициентом теплоотдачи, который определяется из формулы Ньютона:

 

(2)

Таким образом, коэффициент теплоотдачи характеризует количество тепла, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и жидкостью в 1 градус.

В общем случае коэффициент теплоотдачи может изменяться вдоль поверхности теплообмена, и поэтому различают средний по поверхности коэффициент теплоотдачи и локальный или местный соответствующий единичному элементу поверхности.

По изучению интенсивности теплообмена в условиях свободного движения проведены многочисленные исследования с различными телами и различными жидкостями. В результате обобщения опытных данных получены критериальные зависимости для средних значений коэффициента теплоотдачи. В общем виде закономерность теплоотдачи может быть представлена в виде

(3)

где – число Нуссельта;

Значения С коэф. проп. и n зависят от режима движения среды.

В принятой для исследования схеме нагрева теплообменной трубы тепловой поток является постоянным и на большей части рабочего участка (за исключением зоны, прилегающей к токопроводящим шинам) направлен от поверхности трубы в окружающую среду. Его величина определяется по электрической мощности, затрачиваемой на нагревание рабочего участка (теплообменной трубы).

,

Из графика вычислить величину показателя степени n, равную угловому коэффициенту прямой, построенной по экспериментальным точкам.

.

 

 

Первая теорема Кондратьева

Если обозначить через , то получим первую теорему Кондратьева: . (9.19)

Темп охлаждения или относительная скорость изменения температуры в теле прямо пропорционален среднему коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела F и обратно пропорционален теплоёмкости тела.

Коэффициент пропорциональности y называется коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле. Он зависит от условий охлаждения на поверхности тела, т.е. от числа Bi.

Рассмотрим два случая:

3) Bi®0 ().

В этом случае и распределение температуры в теле не зависит от размеров и физических свойств тела, поэтому усреднённая температура по поверхности будет равна усреднённой температуре по объёму , следовательно .

4) Bi®¥ ().

a®¥, и температура на поверхности тела принимает постоянное значение, равное температуре окружающей среды, следовательно, , коэффициент неравномерности температуры .

Вторая теорема Кондратьева

При Bi®¥ (a®¥) темп охлаждения m становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности a:

, (вторая теорема Кондратьева) (9.20)

Коэффициент К зависит от геометрической формы и размерности тела.

Для однородной пластины: ; Þ .

Трансцендентное уравнение для пластины было:

; при Bi®¥; ; .

В (9.9) последующие корни не меньше чем предыдущие

Р₁ > Р₂ > Р₃ > …

Для пластины коэффициент пропорциональности K

,

где d – толщина пластины

Коэффициент пропорциональности для шара:

.

Коэффициент пропорциональности для параллелепипеда:

.

Коэффициент пропорциональности для цилиндра конечной длины .

На основной теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методы определения теплофизических характеристик a, l, c. ;

Для определения коэффициента теплопроводности l, используется l-калориметр в виде шара. Создаются условия теплообмена с конечным a; как правило, охлаждение на воздухе. При этих условиях определяется темп охлаждения.

Вязкостный режим

Для вязкостного режима силы вязкости являются преобладающими (отсутствует влияние естественной конвекции). Вязкостный режим более вероятен в трубах малого диаметра, когда течёт очень вязкая жидкость (например, мазут), и когда имеет место малый температурный напор между поверхностью жидкости и стенки.

.

Средний коэффициент теплоотдачи

, (14.1)

; ,

где – отношение динамической вязкости; поправка на направление теплового потока;

– поправка на начальный участок тепловой стабилизации.

Для вязкостного режима: .

Переходный режим.

Переходный режим существует при . Он является неустойчивым, поэтому плохо изучен, для него нет критериальных зависимостей. Для расчёта этого режима используется формула Михеева (14.7) с введением поправки.

Ref
en	0,4	0,57	0,72	0,91

Формула Михеева с точностью ±15% описывает теплообмен очень многих жидкостей. По этой формуле (14.7) рассчитывается теплообмен при движении жидкости внутри труб кожухотрубных теплообменников.

Конвективный теплообмен. Основные понятия

Конвекция возможна только в текучей среде, в которой перенос теплоты связан с переносом самой среды. Конвективный теплообмен – это совместный перенос теплоты за счёт теплопроводности и конвекции.

Конвекция – это перенос теплоты при перемещении жидкости или газа в пространстве с одной температурой в пространство с другой температурой.

Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности перпендикулярно к ней проходит масса жидкости,

, ,

где w – скорость жидкости, м/с;

r – плотность жидкости, кг/м³,

то с ней переносится плотность теплового потока конвекцией.

, ,

где h – удельная энтальпия жидкости, .

Конвекция теплоты сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа происходит соприкосновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. Поэтому конвективный теплообмен описывается уравнением:

(11.1)

уравнение конвективного теплообмена.

Основное уравнением конвективного теплообмена – это уравнение теплоотдачи Ньютона-Рихмана.

, (11.2)

, .

a – количество теплоты, воспринимаемое единицей поверхности в единицу времени при разности температур равной 1 градусу.

Средний коэффициент теплоотдачи:

.

(локальное значение коэффициента теплоотдачи)

Экспериментально установлено, что коэффициент теплоотдачи a зависит от вида теплообмена и теплофизических свойств теплоносителя. В общем случае:

. (11.3)

Все реальные жидкости и газы обладают вязкостью между слоями, движущимися с различными скоростями. Между этими слоями возникает сила внутреннего трения, которая противодействует движению (направлена в сторону, противоположную движению). Согласно закону Ньютона, эта касательная сила (S или t), отнесенная к единице поверхности, действует в плоскости, ориентированной по течению прямо пропорционально изменению скорости в направлении к нормали к этой плоскости:

, (11.4)

где m – коэффициент пропорциональности – динамический коэффициент вязкости, Па×с;

y – направление, перпендикулярное направлению движения.

Условиях I-рода.)

Ось OZ совмещаем с осью цилиндра, и температура меняется только вдоль радиуса цилиндра.

Для полого цилиндра заданы: внешний () и внутренний () радиусы, коэффициент теплопроводности (l), температуры холодной и горячей стенок ( и ).

Требуется найти: уравнение, описывающее температурное поле в цилиндре, т.е. изменение температуры в зависимости от диаметра d (рад. r), а также плотность теплового потока q и сам тепловой поток Q.

На основании дифференциального уравнения теплопроводности при стационарном режиме и отсутствии внутренних источников теплоты (2.10), учитывая, что первая и вторая производные температуры по z равны нулю

, ,

а также то, что температура не зависит от полярного угла j, то уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2.10) упрощается до вида

. (4.1)

Граничные условия дифференциального уравнения:

при ;

при .

Введём новую переменную

,

тогда дифференциальное уравнение (4.1) будет иметь вид:

.

Интегрируем данное выражение:

.

Тогда, потенциируя это выражение и переходя к первоначальным переменным мы получаем:

.

После интегрирования получаем:

. (4.2)

Для определения постоянных интегрирования и воспользуемся граничными условиями:

(а)

Решая уравнение (а) относительно и , получаем

, (б)

, (с)

Подставляя в (4.2) значения и , получаем окончательное решение дифференциального уравнения

. (4.3)

Это решение описывает распределение температуры в цилиндрической стенке. Это логарифмическая кривая (рис. 4.1). Задавая произвольным диаметр, можно определить температуру в любой точке цилиндрической поверхности.

Согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (температура меняется только вдоль радиуса):

;

, Вт. (4.4)

Из этого выражения следует, что тепловой поток полностью определяется внутренним и наружным диаметрами цилиндра ( и ).

Тепловой поток может быть отнесён к единице длины цилиндра

, . (4.5)

(линейная плотность теплового потока) – это количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность путём теплопроводности через единицу длины

Тепловой поток может быть отнесён к внутренней поверхности цилиндра

, . (4.6)

Тепловой поток, отнесённый к наружной поверхности цилиндра

, . (4.7)

Связь между различными приведёнными плотностями теплового потока следующая

, (4.8)

, т.к. .

Следовательно, в отличие от плоской стенки плотность теплового потока непостоянна по толщине цилиндрической стенки и определяется текущим диаметром цилиндра (чем больше текущий диаметр, тем меньше плотность теплового потока).

Если коэффициент теплопроводности не является величиной постоянной, а зависит от температуры по зависимости , то температурное поле, т.е. линии изменения температуры в цилиндрической стенке, на любом диаметре может быть определено из следующего выражения

. (4.9)

Подставляемые в выражение (4.9) значения и берутся из справочников.

29) Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса)

Для вывода уравнения движения используют закон сохранения количества движения.

Закон сохранения количества движения – изменение количества движения в элементе объёма жидкости (dx, dy, dz) равно результирующей всех внешних сил, приложенных к поверхности и объёму элемента.

Полная или субстанционная производная оценивает действительное ускорение, которое испытывает частица материи или субстанции проходя вдоль линии тока в поле скорости (рис. 11.1). Полная субстанционная производная для составляющей скорости вдоль оси ОХ будет равна

. (11.9)

Аналогично для и .

, (11.9)

. (11.9)

(11.11)

получаем уравнение движения для несжимаемой жидкости или уравнение Навье-Стокса:

(11.12)

где –проекции вектора ускорения свободного падения на оси.

В векторной форме окончательное уравнение движения (или уравнение Навье-Стокса) для движущейся жидкости в гравитационном поле имеет вид:

, (11.13)

 

 

Уравнение Навье-Стокса подтверждает второй закон Ньютона: произведение массы на ускорение равно сумме сил. Т.е. уравнение баланса количества движения соответствует второму закону Ньютона.

Для частного случая, когда силами вязкого трения можно пренебречь для идеальной жидкости, уравнение Навье-Стокса превращается в уравнение Эйлера

. (11.14)

Из (11.14) для установившегося безвихревого движения в поле силы тяжести энергетический баланс для элементарной струи жидкости описывается уравнением Бернулли:

, (11.15)

 

Уравнение Навье-Стокса (11.12) определяет характер распределения скоростей в однородном потоке с постоянной скоростью. Если заданы краевые условия, начальные и граничные, то 4 уравнения сплошности (11.8) и уравнение движения (11.12) дают распределение в пространстве и во времени 4-х величин: w_x, w_y, w_z, р. Эти распределения являются решением конкретной задачи. Чтобы найти поле распределения температур или энтальпий рассмотрим уравнение энергии

Тепловое подобие

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков. Рассмотрим две подобные системы (', "). Запишем уравнение энергии для одномерной задачи (температура меняется вдоль координаты Х), и уравнение теплообмена:

,

,

,

.

Введём постоянные подобия (константы).

Константы подобия коэффициентов температуропроводности:

; ; ; ; ; .

Заменяя переменные второй системы через переменные первой, мы получаем дифференциальное уравнение энергии и теплообмена для второй системы, записанное через переменные первой:

.

Уравнение теплообмена:

.

Выделим пять констант подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

,

Разделим: .

Подставляя вместо постоянных подобия их размерные величины и произведя разделение переменных, мы получаем числа теплового подобия

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr:

, (13.10)

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):

, (13.11)

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи a, и температурное поле l в пограничном слое потока.

(13.8 – 13.11) – основные числа числового подобия.

Дадим вспомогательные числа гидродинамического и теплового подобия.

Комбинируя Re и Fr можно получить число подобия Галилея:

. (13.12)

Комбинируя Ga с параметрическим числом, характеризующим неоднородное поле плотностей , получим число подобия Архимеда:

. (13.13)

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

. (13.14)

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.

При свободной конвекции вызывается неоднородностью поля температур, т.к. плотность газа зависит от температур. Поэтому в числе подобия Ar заменяется на , где b – температурный коэффициент объёмного расширения. В результате из Ar получаем число Грасгофа Gr: , (13.15)

Gr характеризует подъёмную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей (учёт свободной конвекции).

Число подобия Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. , (13.16)

где – для идеального газа,

– для реального газа.

М характеризует сжимаемость жидкости, если , то жидкость (газ) считаем несжимаемой;

St пользуется при рассмотрении развитого турбулентного течения;

Pr характеризует подобие полей скоростей и температуры в движущейся среде.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

При изучении процессов гидродинамики и теплообмена могут встретиться следующие числа подобия.

Число подобие Кирпичёва: .

(мера отношения потока тепла подводимой к поверхности тела, к потоку отводится с поверхности внутрь тела за счёт теплопроводности).

Число подобия Кондратьева: .

(характеризует отставание изменения температуры какой-либо точки тела от изменения температуры окружающей среды, m – темп охлаждения).

Число подобия Вебера: .

(критерий поверхности натяжения).

We характеризует процесс дробления вязких жидкостей при распыле их воздухом или паром в горелочных устройствах. (отношение сил поверхностного натяжения к силам тяжести).

где s – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

r_к – плотность капли, кг/м³;

r – плотность воздуха или пара, кг/м³;

– размер капли (d), м.

Число подобия Лященко: .

(характеризует гидродинамическую обстановку в слое зернистого материала (кипящего слоя) при течении жидкости или газа сквозь слой твёрдого зернистого материала).

Число подобия Стокса:

характеризует процесс обтекания тел запылённым потоком газа. Является мерой отношения сил инерции и сил вязкости на движущуюся в потоке частицу. Всего обобщенных переменных в теории переноса порядка 140.

Переходя от размерных физических величин или первичным к безразмерным комплексам или критериям, исходя из второй теоремы подобия, можно записать критериальные зависимости следующего вида:

 

Начальные условия.

1) , . .

Граничные условия: так как плоскость симметрии пластины проходит через , то

2) , при .

При на поверхности пластины граничные условия III-рода:

3) при . .

В соответствии с (9.2) общее решение (9.4) будет иметь вид: . (9.5)

Используя начальные и граничные условия для определения постоянных интегрирования , можно получить трансцендентное уравнение вида: , (9.6) . (9.7)

Уравнение (9.7) наиболее просто решается графически.