Охлаждение и нагревание неограниченной пластины. Частные случаи

Рассмотрим процесс охлаждения плоской стены (пластины), толщиной .

Уравнение однородной стационарной теплопроводности (9.1) для рассматриваемого случая можно записать через избыточную температуру: . (9.4)

Для решения этого уравнения необходимо иметь краевые условия.

Начальные условия.

1) , . .

Граничные условия: так как плоскость симметрии пластины проходит через , то

2) , при .

При на поверхности пластины граничные условия III-рода:

3) при . .

В соответствии с (9.2) общее решение (9.4) будет иметь вид: . (9.5)

Используя начальные и граничные условия для определения постоянных интегрирования , можно получить трансцендентное уравнение вида: , (9.6) . (9.7)

Уравнение (9.7) наиболее просто решается графически.

Из рисунка 9.3 видно, что имеется бесчисленное множество корней для каждого значения Bi. Найдём границы изменения числа Bi.

Если Bi ® ¥, то при заданном размере стенки и её материала, в этом случае a®¥; при этом температуры стенки и жидкости оказались равными ,

а корни уравнения (9.7) имеют следующие значения

; ; ; …; ,

.

На практике , это случай когда .

Если Bi ® 0, Þ a ® 0. В этом случае избыточная температура: , т.е. теплоотдачи от поверхности пластины к жидкости нет, и корни уравнения (9.7)

,

где n­­ – порядковый номер корня.

Для каждого значения 0 £ Bi £ ¥, решение дифференциального уравнения (9.4) будем искать в виде:

. (9.8)

Определив , запишем окончательное решение уравнения теплопроводности (9.4):

(9.9)

(быстросходящийся ряд Фурье)

Решение (9.9) можно представить в обобщённых переменных:

, (9.10)

где – безразмерная координата;

– число подобия Фурье (безразмерное время).

Решения (9.10) представлены в виде простых и удобных номограмм, которые могут быть двух видов. Номограммы построены для двух случаев:

– центр пластины

– поверхность пластины

Зависимость (9.10) справедлива также для цилиндра и шара.

Для решения прямой задачи определения температуры в центре либо на поверхности пластины через какой-то момент времени после её охлаждения в среде с , при заданных размерах , материале пластины l, и a находится . Поднимаем до пересечения с нужным Bi и находим относительную избыточную температуру, тогда абсолютная температура в центре будет равна:

.

В любом сечении температура находится с помощью решения (9.9).

Частные случаи охлаждения (нагрева) неограниченной пластины

Анализ решения дифференциального уравнения одномерной теплопроводности записанного для неограниченной пластины (9.9) в виде бесконечного, быстросходящегося ряда предполагает три характерных случая:

1) (). В этом случае с достаточной точностью можно ограничится первым членом ряда, и распределение температуры в неограниченной пластине будет иметь вид:

Так как распределение температуры в теле определяется как внутренним термическим сопротивлением, так и внешним, то для инженерных расчётов при в уравнении (9.9) можно ограничится первым членом ряда, так как термическое сопротивление , то температура на поверхности пластины становится равной температуре окружающей среды, т.е. .

2) (). Процесс выравнивания температуры в теле происходит значительно быстрее, чем отвод теплоты с поверхности пластины. Распределение температуры в этом случае показано на рисунке (9.7).

3) (Реальный случай).

Каждому значению числа Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (9.9).

Расход теплоты каждым м³ охлаждаемой пластины за время от до определяется по формуле:

,

где С – теплоёмкость материала пластины;

r – плотность пластины;

J₀ – начальная избыточная температура;

`J – средняя избыточная температура по толщине пластины в момент t₁.

Числа теплового подобия

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr:

, (13.10)

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):

, (13.11)

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи a, и температурное поле l в пограничном слое потока.

(13.8 – 13.11) – основные числа числового подобия.

Дадим вспомогательные числа гидродинамического и теплового подобия.

Комбинируя Re и Fr можно получить число подобия Галилея:

. (13.12)

Комбинируя Ga с параметрическим числом, характеризующим неоднородное поле плотностей , получим число подобия Архимеда:

. (13.13)

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

. (13.14)

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.

При свободной конвекции вызывается неоднородностью поля температур, т.к. плотность газа зависит от температур. Поэтому в числе подобия Ar заменяется на , где b – температурный коэффициент объёмного расширения. В результате из Ar получаем число Грасгофа Gr: , (13.15)

Gr характеризует подъёмную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей (учёт свободной конвекции).

Число подобия Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. , (13.16)

где – для идеального газа,

– для реального газа.

М характеризует сжимаемость жидкости, если , то жидкость (газ) считаем несжимаемой;

St пользуется при рассмотрении развитого турбулентного течения;

Pr характеризует подобие полей скоростей и температуры в движущейся среде.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

При изучении процессов гидродинамики и теплообмена могут встретиться следующие числа подобия.

Число подобие Кирпичёва: .

(мера отношения потока тепла подводимой к поверхности тела, к потоку отводится с поверхности внутрь тела за счёт теплопроводности).

Число подобия Кондратьева: .

(характеризует отставание изменения температуры какой-либо точки тела от изменения температуры окружающей среды, m – темп охлаждения).

Число подобия Вебера: .

(критерий поверхности натяжения).

We характеризует процесс дробления вязких жидкостей при распыле их воздухом или паром в горелочных устройствах. (отношение сил поверхностного натяжения к силам тяжести).

где s – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

r_к – плотность капли, кг/м³;

r – плотность воздуха или пара, кг/м³;

– размер капли (d), м.

Число подобия Лященко: .

(характеризует гидродинамическую обстановку в слое зернистого материала (кипящего слоя) при течении жидкости или газа сквозь слой твёрдого зернистого материала).

Число подобия Стокса:

характеризует процесс обтекания тел запылённым потоком газа. Является мерой отношения сил инерции и сил вязкости на движущуюся в потоке частицу. Всего обобщенных переменных в теории переноса порядка 140.

Переходя от размерных физических величин или первичным к безразмерным комплексам или критериям, исходя из второй теоремы подобия, можно записать критериальные зависимости следующего вида: