Основы теории пограничного слоя

Теория гидродинамического пограничного слоя дана Прандтлем в 1904 году. Сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении дифференциального уравнения конвективного теплообмена применительно к пограничному слою.

Прандтлем была решена задача при продольном обтекании плоской пластины движущимся потоком жидкости при длине пластины l и ширине, равной единице.

Теория Прандтля справедлива только для неразряженных газов и для кипящих жидкостей ( где – длина свободного пробега молекулы, – характерный размер (длина пластины)).

1 – пограничный слой (динамический – (а) и тепловой – (б));

2 – невозмущённый поток жидкости;

I – зона ламинарного режима течения;

II – зона переходного режима течения;

III – зона турбулентного режима течения;

IV – зона вязкого ламинарного подслоя.

При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости возникает тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущённого потока.

 

Ламинарным называется такое движение, при котором возможно существование стационарных траекторий частиц жидкости.

Турбулентным называется движение жидкости с хаотично изменяющимися во времени траекториями частиц жидкости, при котором в потоке возникают нерегулярные пульсации скорости, давления, плотности, неравномерно распределённых в потоке.

Толщина гидродинамического пограничного слоя определяется как расстояние по нормали от пластины, на которой продольная составляющая скорости достигает своего максимального значения, равного скорости невозмущённого потока . Ввиду малой толщины пограничного слоя () удаётся упростить дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса.

Принимаем, что поперёк динамического пограничного слоя давление не изменяется, т.е. . Во внешнем потоке (2) из уравнения Бернулли следует, что давление также не изменяется: .

Для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности уравнение движения Навье-Стокса (11.12) упрощается до вида (в проекции на ось ОХ):

, (12.1)

Уравнение сплошности имеет вид:

. (12.2)

Аналогично понятию гидродинамического пограничного слоя Кружилиным Г.Н. было введено понятие теплового пограничного слоя. Внутри теплового пограничного слоя , а на внешней его границе .

Изменение температуры происходит в очень маленькой пространственной области (), следовательно, можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с теплопроводностью поперёк слоя, т.е. , т.к. .

Для стационарного течения уравнение энергии (11.18) упрощается до: . (12.3)

Полученная система дифференциальных уравнений (12.1), (12.2) и (12.3) описывает конвективный теплообмен только в ламинарном пограничном слое.

Прандтль впервые выполнил приближённое решение этой системы дифференциальных уравнений, а точнее уравнение движения (12.1) методом интегральных соотношений Кáрмана для ламинарного пограничного слоя при продольном обтекании плоской пластины и получил, что толщина динамического пограничного слоя определяется из выражения , (12.4)

,

где Re_x – локальное значение числа Рейнольдса, которое характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости (n) в сечении х;

х – расстояние от передней коронки пластины, м.

(12.5)

Введя понятие локального коэффициента трения в следующей форме , (12.6)

где t_w(x) – касательное напряжение на пластине на расстоянии х от передней кромки, которое определяется по закону трения Ньютона ,

Прандтлем было получено приближенное решение для С_t:

. (12.7)

Приближённое решение дифференциального уравнения энергии (12.3) при числе Прандтля (для газов , для жидких металлов , для капельных жидкостей , для масел ), было получено, что отношение толщины теплового пограничного слоя к толщине динамического пограничного слоя при его ламинарном движении: . (12.10)

где – физический параметр.

При толщина теплового слоя равна толщине динамического пограничного слоя. При , происходит нагревание жидкости от пластины. При , происходит охлаждение жидкости от пластины.

Учитывая (12.4) мы получаем толщину

. (12.11)

Значение числа Pr берётся из справочной таблицы. Для газов .

Связь между локальным коэффициентом теплопередачи a_х на расстоянии х (м) от передней кромки пластины и локальным коэффициентом трения определяется на основе аналогии Рейнольдса, переноса теплоты и количества движения.

При : , (12.12)

(St – число Стантона – аналогия переноса теплоты

и количества движения при Pr = 1)

– аналогия Рейнольдса. (12.13)

Коэффициент теплоотдачи a обратно пропорционален толщине пограничного слоя (с ростом расстояния х d_т увеличивается, а a уменьшается). Формула (12.13) хорошо описывает теплопередачу газов при небольших температурных напорах.

Опуская знак «–» в уравнении теплоотдачи (11.21) мы получаем:

. (12.14)

Для приведения выражения (12.14) к безразмерному виду, умножим его части на . Получим критериальное уравнение для расчёта местного (локального) коэффициента теплоотдачи, при продольном обтекании пластины ламинарным потоком жидкости (с учётом (12.11)).

Найдя число Нуссельта можно определить локальный коэффициент теплоотдачи: .

. (12.15)

Для газов .

Формула (12.15) справедлива при , . Pr_f берётся из таблиц при температуре жидкости, Pr_w берётся из таблиц при температуре стенки.

Средний коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении при продольном обтекании плоской пластины определяется из следующего уравнения (учитывая St = C_t / 2) .

, (12.16)