Теплопроводность через цилиндрическую однородную, однослойную стенку при граничных условиях I-рода.

Ось OZ совмещаем с осью цилиндра, и температура меняется только вдоль радиуса цилиндра.

Для полого цилиндра заданы: внешний () и внутренний () радиусы, коэффициент теплопроводности (l), температуры холодной и горячей стенок ( и ).

Требуется найти: уравнение, описывающее температурное поле в цилиндре, т.е. изменение температуры в зависимости от диаметра d (рад. r), а также плотность теплового потока q и сам тепловой поток Q.

На основании дифференциального уравнения теплопроводности при стационарном режиме и отсутствии внутренних источников теплоты (2.10), учитывая, что первая и вторая производные температуры по z равны нулю

, ,

а также то, что температура не зависит от полярного угла j, то уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2.10) упрощается до вида

. (4.1)

Граничные условия дифференциального уравнения:

при ;

при .

Введём новую переменную

,

тогда дифференциальное уравнение (4.1) будет иметь вид:

.

Интегрируем данное выражение:

.

Тогда, потенциируя это выражение и переходя к первоначальным переменным мы получаем:

.

После интегрирования получаем:

. (4.2)

Для определения постоянных интегрирования и воспользуемся граничными условиями:

(а)

Решая уравнение (а) относительно и , получаем

, (б)

, (с)

Подставляя в (4.2) значения и , получаем окончательное решение дифференциального уравнения

. (4.3)

Это решение описывает распределение температуры в цилиндрической стенке. Это логарифмическая кривая (рис. 4.1). Задавая произвольным диаметр, можно определить температуру в любой точке цилиндрической поверхности.

Согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (температура меняется только вдоль радиуса):

;

, Вт. (4.4)

Из этого выражения следует, что тепловой поток полностью определяется внутренним и наружным диаметрами цилиндра ( и ).

Тепловой поток может быть отнесён к единице длины цилиндра

, . (4.5)

(линейная плотность теплового потока) – это количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность путём теплопроводности через единицу длины

Тепловой поток может быть отнесён к внутренней поверхности цилиндра

, . (4.6)

Тепловой поток, отнесённый к наружной поверхности цилиндра

, . (4.7)

Связь между различными приведёнными плотностями теплового потока следующая

, (4.8)

, т.к. .

Следовательно, в отличие от плоской стенки плотность теплового потока непостоянна по толщине цилиндрической стенки и определяется текущим диаметром цилиндра (чем больше текущий диаметр, тем меньше плотность теплового потока).

Если коэффициент теплопроводности не является величиной постоянной, а зависит от температуры по зависимости , то температурное поле, т.е. линии изменения температуры в цилиндрической стенке, на любом диаметре может быть определено из следующего выражения

. (4.9)

Подставляемые в выражение (4.9) значения и берутся из справочников.

Метод размерностей

Полученные числа подобия и критериальные зависимости могли быть получены методом теории размерностей. Безразмерная величина – это величина с нулевой размерностью.

В CИ за первичные величины приняты:

– длина: L (м);

– масса: m (кг);

– время: T (сек);

– температура: q (K);

– сила тока: I (A);

– сила света: J (канделла).

Символическое выражение производной величины через основные называется размерностью. , м/с.

Любая производная единица измерения j в системе CИ может быть записана: . (13.18)

Математическая формулировка задачи конвективного теплообмена в размерных величинах имеет следующую зависимость:

Избыточная температура

(13.19)

имеет 9 переменных.

Используем три первичных величины: , T, q, т.е. ; .

При переходе к безразмерным величинам получаем:

. (13.20)

Из (13.19) и (13.20) следует, что при переходе от размерных величин к безразмерным, число переменных сократилось с 9 до 6. Этот вывод соответствует p-теореме.

p-теорема – физическое уравнение, содержащие n³2 размерных величин, из которых К³1 величин имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержать () безразмерных величин.