Теплопередача через многослойную плоскую стенку при граничных условиях III-рода

Пусть заданы температуры сред и , коэффициенты теплоотдачи и (закон теплообмена), коэффициенты теплопроводности , и , толщина слоёв стенки , и .

Аналогично формуле (3.9) записывают уравнение сохранения плотности теплового потока q, выражая разность температур и складывая почленно полученные выражения плотности теплового потока

, , (3.16)

, . (3.17)

Коэффициент теплопередачи:

(3.18)

(3.19)

Из уравнения (3.16), определяя плотность теплового потока, находим температуры на поверхностях стенки , и температуры на границах слоёв , .

Уравнение сплошности (или неразрывности) потока

В основе вывода дифференциального уравнения неразрывности лежит закон сохранения массы: сколько массы втекает в объём, столько же должно и вытекать.

Элемент объёма жидкости (dx, dy, dz) располагается в произвольной точке пространства с координатами (x, y, z) и движется вдоль линии тока со скоростью w, проекции которой на оси будут равны w_x, w_y, w_z. Состояние жидкости и свойство переноса в точке (x, y, z) обозначаем через Т, р, r, m.

Пусть плотность жидкости будет постоянной (), тогда масса жидкости в объёме (dx, dy, dz) должна сохраняться постоянной как при стационарном (скорость не изменяется во времени), так и при нестационарном режимах течения. Результирующий массовый расход жидкости через шесть граней должен быть равен нулю.

Массовый расход жидкости вдоль оси Х через единицу площади будет равен , .

Массовый расход жидкости через левую грань элементарного объёма будет равен , .

Разность массовых расходов жидкости через две перпендикулярные оси Х грани или скорость накопления массы в элементе (dx, dy, dz) будет равна

.

Аналогично для осей Y и Z:

, .

При условии постоянной плотности () уравнение неразрывности потока получаем путём сложения скоростей накопления массы и приравнивая к нулю эту сумму массовых расходов через все шесть граней.

Т.к. , то, следовательно, . (11.5)

(дифференциальное уравнение сплошности потока для несжимаемой жидкости)

В векторной форме уравнение сплошности (неразрывности) записывается как . (11.6)

Для сжимаемой жидкости (т.е. для жидкости с переменной плотностью) разность между скоростью прихода массы в элемент и скоростью ухода массы из элемента равна скорости накапливания массы элементом объёма.

. (11.7)

(уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости)

В векторной форме:

. (11.8)

Избыток массы обуславливается изменением плотности жидкости в объёме, равен изменению массы данного объёма во времени.

3) . (15.2)

Различают три режима:

1) Ламинарное течение в пограничном слое:

.

2) Переходный режим (лобовая часть трубы омывается ламинарным пограничным слоем, а кормовая – турбулентным пограничным слоем):

.

3)Развитый турбулентный режим течения жидкости в пограничном слое:

.

При значении числа Рейнольдса происходит изменение закона теплообмена. Уравнение (15.2) справедливо при угле атаки .

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (при граничных

Условиях I-рода.)

Ось OZ совмещаем с осью цилиндра, и температура меняется только вдоль радиуса цилиндра.

Для полого цилиндра заданы: внешний () и внутренний () радиусы, коэффициент теплопроводности (l), температуры холодной и горячей стенок ( и ).

Требуется найти: уравнение, описывающее температурное поле в цилиндре, т.е. изменение температуры в зависимости от диаметра d (рад. r), а также плотность теплового потока q и сам тепловой поток Q.

На основании дифференциального уравнения теплопроводности при стационарном режиме и отсутствии внутренних источников теплоты (2.10), учитывая, что первая и вторая производные температуры по z равны нулю

, ,

а также то, что температура не зависит от полярного угла j, то уравнение Лапласа в цилиндрических координатах (2.10) упрощается до вида

. (4.1)

Граничные условия дифференциального уравнения:

при ;

при .

Введём новую переменную

,

тогда дифференциальное уравнение (4.1) будет иметь вид:

.

Интегрируем данное выражение:

.

Тогда, потенциируя это выражение и переходя к первоначальным переменным мы получаем:

.

После интегрирования получаем:

. (4.2)

Для определения постоянных интегрирования и воспользуемся граничными условиями:

(а)

Решая уравнение (а) относительно и , получаем

, (б)

, (с)

Подставляя в (4.2) значения и , получаем окончательное решение дифференциального уравнения

. (4.3)

Это решение описывает распределение температуры в цилиндрической стенке. Это логарифмическая кривая (рис. 4.1). Задавая произвольным диаметр, можно определить температуру в любой точке цилиндрической поверхности.

Согласно закону Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (температура меняется только вдоль радиуса):

;

, Вт. (4.4)

Из этого выражения следует, что тепловой поток полностью определяется внутренним и наружным диаметрами цилиндра ( и ).

Тепловой поток может быть отнесён к единице длины цилиндра

, . (4.5)

(линейная плотность теплового потока) – это количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность путём теплопроводности через единицу длины

Тепловой поток может быть отнесён к внутренней поверхности цилиндра

, . (4.6)

Тепловой поток, отнесённый к наружной поверхности цилиндра

, . (4.7)

Связь между различными приведёнными плотностями теплового потока следующая

, (4.8)

, т.к. .

Следовательно, в отличие от плоской стенки плотность теплового потока непостоянна по толщине цилиндрической стенки и определяется текущим диаметром цилиндра (чем больше текущий диаметр, тем меньше плотность теплового потока).

Если коэффициент теплопроводности не является величиной постоянной, а зависит от температуры по зависимости , то температурное поле, т.е. линии изменения температуры в цилиндрической стенке, на любом диаметре может быть определено из следующего выражения

. (4.9)

Подставляемые в выражение (4.9) значения и берутся из справочников.

29) Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса)

Для вывода уравнения движения используют закон сохранения количества движения.

Закон сохранения количества движения – изменение количества движения в элементе объёма жидкости (dx, dy, dz) равно результирующей всех внешних сил, приложенных к поверхности и объёму элемента.

Полная или субстанционная производная оценивает действительное ускорение, которое испытывает частица материи или субстанции проходя вдоль линии тока в поле скорости (рис. 11.1). Полная субстанционная производная для составляющей скорости вдоль оси ОХ будет равна

. (11.9)

Аналогично для и .

, (11.9)

. (11.9)

(11.11)

получаем уравнение движения для несжимаемой жидкости или уравнение Навье-Стокса:

(11.12)

где –проекции вектора ускорения свободного падения на оси.

В векторной форме окончательное уравнение движения (или уравнение Навье-Стокса) для движущейся жидкости в гравитационном поле имеет вид:

, (11.13)

 

 

Уравнение Навье-Стокса подтверждает второй закон Ньютона: произведение массы на ускорение равно сумме сил. Т.е. уравнение баланса количества движения соответствует второму закону Ньютона.

Для частного случая, когда силами вязкого трения можно пренебречь для идеальной жидкости, уравнение Навье-Стокса превращается в уравнение Эйлера

. (11.14)

Из (11.14) для установившегося безвихревого движения в поле силы тяжести энергетический баланс для элементарной струи жидкости описывается уравнением Бернулли:

, (11.15)

 

Уравнение Навье-Стокса (11.12) определяет характер распределения скоростей в однородном потоке с постоянной скоростью. Если заданы краевые условия, начальные и граничные, то 4 уравнения сплошности (11.8) и уравнение движения (11.12) дают распределение в пространстве и во времени 4-х величин: w_x, w_y, w_z, р. Эти распределения являются решением конкретной задачи. Чтобы найти поле распределения температур или энтальпий рассмотрим уравнение энергии