Передача теплоты через плоскую стенку и граничных

Передача теплоты через плоскую стенку и граничных

Условиях I рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении оси Ох, а температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х (t = f (x)) и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

.

Граничные условия в рассматриваемой задаче задаются следующим образом:

t = t_c1 при х = 0;

t = t_c2 при х = d.

В результате решения поставленной задачи найдем распределение температуры в плоской стенке, то есть t = f (x), а также получим формулу для определения плотности теплового потока.

Первое интегрирование дает:

.

После второго интегрирования получим:

– уравнение прямой линии.

Следовательно, при l = const закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1 Þ С₂ = t_c1;

при х = d t = t_c2 .

Тогда закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке имеет следующую запись:

.

Для определения плотности теплового потока в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:

.

Так как , то

.

Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности l, разности температур поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки d.

Величина, численно равная отношению разности температур между двумя изотермическими поверхностями тела к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей, называется внутренним термическим сопротивлением, м²×К/Вт:

.

Общее количество теплоты Q_t, которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени t:

.

Кроме того, уравнение температурного поля может быть записано в виде:

.

Из этого выражения следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Полученные выражения справедливы, когда l = const.

В действительности l является переменной величиной. Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

,

где l₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 °С.

Тогда плотность теплового потока будет равна:

.

Введя обозначение , получим

,

где l_ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности.

Выражение для температурного поля имеет вид:

.

 

Передача теплоты через многослойную плоскую стенку и

Граничных условиях I рода

Рассмотрим стенку, состоящую из слоев различной толщины (d₁, d₂,…, d_n). Теплопроводность отдельных слоев обозначим l₁, l₂,…, l_n. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.

При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же: .

При заданных условиях можно составить систему уравнений:

, , …………………. ;

, , …………………. .

Сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь:

.

Тогда плотность теплового потока равна:

,

где – полное термическое сопротивление плоской многослойной стенки, м²×К/Вт. Полное термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений составляющих ее слоев.

Иногда многослойную стенку рассчитывают как однородную, вводя в представленное выражение эквивалентный коэффициент теплопроводности:

.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той же толщины, с теми же температурами поверхности и пропускающей тот же тепловой поток.

Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев равны:

;

;

.

И граничных условиях I рода

Подвод теплоносителя к потребителю обычно осуществляется по трубам, а сами потребители часто имеют цилиндрический корпус. В связи с этим возникает необходимость расчета тепловых потоков через цилиндрическую оболочку. Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2 r1 и наружным диаметром d2 = 2 r2. На поверхности стенки заданы

постоянные температуры t_c1 и t_c2. В заданном интервале температур l =const. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат:

.

При этом ось Oz совмещена с осью трубы.

При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным, поэтому:

и .

Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими. Тогда температура не должна изменяться вдоль j, то есть:

и .

Следовательно, дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

Граничные условия задаются следующим образом:

t = t_c1 при r = r₁;

t = t_c2 при r = r₂.

Для решения дифференциального уравнения введем новую переменную:

Þ .

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

.

Интегрируя, получаем:

Þ .

Потенцируя и переходя к первоначальным переменным, получаем:

Þ .

После интегрирования находим:

.

Подставим в полученное выражение граничные условия:

,

Þ

; .

Тогда температурное поле будет равно:

,

или .

Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Криволинейное распределение температуры в цилиндрической стенке объясняется следующим. Для плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. Для цилиндрической стенки q через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность площадью F в единицу времени, воспользуемся законом Фурье:

.

Очевидно, ; .

Тогда Q равно:

.

Из полученного выражения видно, что так же, как и для плоской стенки, тепловой поток через цилиндрическую оболочку прямо пропорционален разности температур поверхностей стенки.

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, принимают вид:

- тепловой поток через единицу внутренней поверхности;

- тепловой поток через единицу наружной поверхности;

- поток теплоты, проходящий через единицу длины трубы.

q_l также называется линейной плотностью теплового потока (Вт/м).

Как видно из первых двух уравнений плотности теплового потока q₁ и q₂ (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) при передаче теплоты через трубы неодинаковы, причем всегда q₁ > q₂.

Связь между величинами q₁, q₂ и q_l следующая:

.

И граничных условиях I рода

Рассмотрим цилиндрическую стенку, состоящую из трех плотно прилегающих друг к другу слоев. Теплопроводность отдельных слоев обозначим l₁, l₂, l₃, диаметры слоев d₁, d₂, d₃, d₄. Температура каждого слоя стенки изменяется по логарифмической кривой. Общая температурная кривая представляет собой ломанную логарифмическую кривую. При стационарном режиме через все слои проходит один и тот же тепловой поток. Для каждого слоя тепловой поток равен:

 

; ; .

; ;

Сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь:

, Þ

.

Для многослойной цилиндрической стенки, имеющей n слоев:

.

Температуры между слоями находим из следующих уравнений:

;

и т.д.

Передача теплоты через плоскую стенку и граничных

Условиях I рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении оси Ох, а температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х (t = f (x)) и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

.

Граничные условия в рассматриваемой задаче задаются следующим образом:

t = t_c1 при х = 0;

t = t_c2 при х = d.

В результате решения поставленной задачи найдем распределение температуры в плоской стенке, то есть t = f (x), а также получим формулу для определения плотности теплового потока.

Первое интегрирование дает:

.

После второго интегрирования получим:

– уравнение прямой линии.

Следовательно, при l = const закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1 Þ С₂ = t_c1;

при х = d t = t_c2 .

Тогда закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке имеет следующую запись:

.

Для определения плотности теплового потока в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:

.

Так как , то

.

Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности l, разности температур поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки d.

Величина, численно равная отношению разности температур между двумя изотермическими поверхностями тела к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей, называется внутренним термическим сопротивлением, м²×К/Вт:

.

Общее количество теплоты Q_t, которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени t:

.

Кроме того, уравнение температурного поля может быть записано в виде:

.

Из этого выражения следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Полученные выражения справедливы, когда l = const.

В действительности l является переменной величиной. Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

,

где l₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 °С.

Тогда плотность теплового потока будет равна:

.

Введя обозначение , получим

,

где l_ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности.

Выражение для температурного поля имеет вид:

.