Передача теплоты через плоскую однослойную и многослойную стенки и граничных условиях III рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. Заданы также температуры окружающей среды tж1 и tж2, а также коэффициенты теплоотдачи a1 и a1, причем все эти параметры также постоянны и не меняются вдоль поверхности. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоской стенки.

Необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности стенки.

Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется по уравнению Ньютона-Рихмана:

q = a₁ (t_ж1 – t_с1).

При стационарном тепловом режиме та же плотность теплового потока, обусловленная теплопроводностью через твердую стенку будет равна:

.

Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:

q = a₂ (t_с2 – t_ж2).

Представленные выражения можно записать в виде:

,

,

.

 

 

Складывая почленно полученные равенства, получим:

.

Отсюда плотность теплового потока равна:

.

Обозначим .

Тогда ,

где k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²×К).

Коэффициент теплопередачи k характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи, (м²×К)/Вт:

,

где и - внешние термические сопротивления,

- термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. Если стенка состоит из n слоев, то полное термическое сопротивление теплопередачи через такую стенку будет равно:

,

отсюда .

Плотность теплового потока через многослойную стенку, состоящую из n слоев, будет равна:

.

Тепловой поток Q через поверхность F твердой стенки равен:

.

Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений:

; или .

Температура на границе любых двух слоев i и i + 1 при граничных условиях третьего рода может быть определена по уравнению:

.

 

 

Лекция

Тема: «ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ»

(продолжение)

План.

4. Передача теплоты через цилиндрическую стенку и граничных условиях I рода.

5. Передача теплоты через многослойную цилиндрическую стенку и граничных условиях I рода.

6. Передача теплоты через однослойную и многослойную цилиндрические стенки и граничных условиях III рода

7. Критический диаметр цилиндрической стенки.

8. Передача теплоты через ребристую стенку.

9. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты.

 

Передача теплоты из одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача включается в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной среде.

Передача теплоты через цилиндрическую стенку

И граничных условиях I рода

Подвод теплоносителя к потребителю обычно осуществляется по трубам, а сами потребители часто имеют цилиндрический корпус. В связи с этим возникает необходимость расчета тепловых потоков через цилиндрическую оболочку. Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром d1 = 2 r1 и наружным диаметром d2 = 2 r2. На поверхности стенки заданы

постоянные температуры t_c1 и t_c2. В заданном интервале температур l =const. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат:

.

При этом ось Oz совмещена с осью трубы.

При заданных условиях температура изменяется только в радиальном направлении и температурное поле будет одномерным, поэтому:

и .

Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими. Тогда температура не должна изменяться вдоль j, то есть:

и .

Следовательно, дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

Граничные условия задаются следующим образом:

t = t_c1 при r = r₁;

t = t_c2 при r = r₂.

Для решения дифференциального уравнения введем новую переменную:

Þ .

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

.

Интегрируя, получаем:

Þ .

Потенцируя и переходя к первоначальным переменным, получаем:

Þ .

После интегрирования находим:

.

Подставим в полученное выражение граничные условия:

,

Þ

; .

Тогда температурное поле будет равно:

,

или .

Полученное выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Криволинейное распределение температуры в цилиндрической стенке объясняется следующим. Для плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. Для цилиндрической стенки q через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую поверхность площадью F в единицу времени, воспользуемся законом Фурье:

.

Очевидно, ; .

Тогда Q равно:

.

Из полученного выражения видно, что так же, как и для плоской стенки, тепловой поток через цилиндрическую оболочку прямо пропорционален разности температур поверхностей стенки.

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, принимают вид:

- тепловой поток через единицу внутренней поверхности;

- тепловой поток через единицу наружной поверхности;

- поток теплоты, проходящий через единицу длины трубы.

q_l также называется линейной плотностью теплового потока (Вт/м).

Как видно из первых двух уравнений плотности теплового потока q₁ и q₂ (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) при передаче теплоты через трубы неодинаковы, причем всегда q₁ > q₂.

Связь между величинами q₁, q₂ и q_l следующая:

.