Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

В ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Выделение теплоты в этом случае характеризуется мощностью источников теплоты q_u, Вт/м³.

Для стационарного режима теплопроводности дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии внутренних источников теплоты имеет вид: .

Теплопроводность однородной пластины.

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2 d мала по сравнению с двумя другими размерами.

Источники теплоты равномерно распределены по объему и равны q_u =const. Заданы коэффициенты теплоотдачи a и температура жидкости t_ж, причем a = const и t_ж = const. Благодаря равномерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины одинаковы.

При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х. Температуру на оси пластины обозначим t0, на ее поверхности – tс. Необходимо определить температуры t0 и tс, распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х. Температуру на оси пластины обозначим t₀, на ее поверхности – t_с. Необходимо определить температуры t₀ и t_с, распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение в рассматриваемом случае принимает вид:

.

Граничные условия:

при х = ± d имеем .

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковы, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х = 0. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например, правую и записать граничные условия для нее в виде:

х = 0; ;

х = d; .

После интегрирования дифференциального уравнения получим:

; .

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий по выражению для первой производной:

при х = 0 получаем С₁ = 0;

при х = d получаем .

Подставим это значение в исходное значение для граничного условия х = d

Þ .

Подставив это выражение в уравнение полученное после второго интегрирования при х = d получим:

Þ .

Подставив значения постоянных С₁ и С₂ в исходное выражение, найдем уравнение температурного поля:

Þ .

Из полученного уравнения следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х:

.

При х = 0 плотность теплового потока q = 0.

Тепловой поток с единицы поверхности пластины при х = d

.

Общее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F ₁):

.

 

Теплопроводность однородного цилиндрического стержня.

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса.

Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела. Заданы температура окружающей среды t_ж = const и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи.

Для цилиндра, как и для пластины, задача одномерна и симметрична. Дифференциальное уравнение теплопроводности при этом имеет вид: . Граничные условия: при r = 0 ;

при r = r ₀ .

Необходимо найти уравнение температурного поля и тепловой поток, а также значения температур на оси t₀ и на поверхности t_c.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение теплопроводности. При этом произведем замену

.

Тогда уравнение теплопроводности запишется в виде:

Þ .

После интегрирования получим:

Þ .

После второго интегрирования получим:

.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий

при r = 0 получаем С₁ = 0;

при r = r ₀ получаем .

Подставив последнее выражение в граничные условия, получим:

Þ .

Подставив это выражение в уравнение полученное после второго интегрирования при r = r ₀ получим:

.

Подставив значения постоянных С₁ и С₂ в исходное выражение, найдем уравнение температурного поля:

.

Полученное выражение показывает, что распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Из полученного уравнения при r = 0 найдем температуру на оси цилиндра:

.

Плотность теплового на поверхности цилиндра равна:

.

Полный тепловой поток с поверхности цилиндра равна:

.

 

Контрольные вопросы

1. Что называется внутренним термическим сопротивлением?
2. Записать выражение для определения количества теплоты через плоскую однослойную и многослойную стенки при граничных условиях 1и 3-го рода.
3. Что называется коэффициентом теплопередачи, как он определяется?
4. Записать выражение для определения количества теплоты через цилиндрические однослойную и многослойную стенки при граничных условиях 1и 3-го рода.
5. Что называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи?(записать выражение)
6. Что называется тепловой изоляцией?
7. Что называется критическим диаметром?
8. Запишите условие для эффективной работы изоляции.
9. Что называется коэффициентом эффективности ребер?
10. Что называется коэффициент оребрения?
11. Записать выражение для определения общего количества теплоты с поверхности пластиной, цилиндром.